Một thí nghiệm đang mang lại những nhận thức tươi mới sau 40 năm khám phá hiệu ứng – và làm sôi động những hợp tác liên môn.
Tại một buổi thuyết giảng vào năm 1939, Paul Dirac từng nói “toán học thuần túy và vật lí học đang dần trở nên kết nối chặt chẽ hơn bao giờ hết”. Rồi ông tiếp tục nói rằng hai môn học có thể thống nhất, với “mỗi nhánh toán học thuần túy rồi sẽ có ứng dụng vật lí của nó”.
Tiên đoán của Dirac mang tính suy đoán cao, và đến nay vẫn thế. Ngày nay, chẳng ai đặt vấn đề thống nhất hai lĩnh vực này nữa. Các kĩ thuật toán học thuần túy được sử dụng trong kinh tế học, kĩ thuật và tài chính, nhưng không theo nghĩa – cũng không vì lí do – những lĩnh vực này đang thống nhất.
Sóng lượng tử trong chất cách điện topo: toán học thuần túy là một phương thức quyền năng và chặt chẽ để mô tả các hình dạng và cách chúng được sắp xếp trong không gian. Ảnh: A. Yazdani/SPL
Ẩn ý của Dirac gây nhức nhói cho các nhà toán học thuần túy bởi lẽ nó đề xuất rằng các nhà vật lí xem toán học là một công cụ để nghiên cứu thế giới tự nhiên hơn là một môn học độc lập. Một quan điểm như thế có thể là rào cản cho sự hợp tác hiệu quả. Thế nhưng khi các nhà toán học và nhà vật lí cùng bắt tay giải quyết các vấn đề với vai trò ngang nhau, kết quả thu được có thể thật tráng lệ - như chúng ta thấy trong vật lí học vật liệu và trong topo học, một nhánh toán học thuần túy chuyên nghiên cứu các hình dạng và cách chúng được sắp xếp trong không gian.
Nhà toán học và nhà vật lí làm việc trong những lĩnh vực này đã có những đóng góp lâu dài cho việc tìm hiểu hiệu ứng Hall lượng tử, hiện tượng được khám phá trong một thí nghiệm có tính làm thay đổi nhận thức hồi 40 năm trước. Cách họ thu được kết quả này có giá trị bài học cho cách thức trong đó các môn học – chứ không riêng các môn học thuộc các ngành khoa học vật chất – có thể se duyên với nhau thành công hơn để giải quyết những bài toán chung.
Những bước nhảy lượng tử
Hiệu ứng Hall lượng tử mô tả quá trình trong đó điện trở có thể được đo chính xác theo những lớp vật liệu dày vài nguyên tử.
Hiệu ứng Hall nguyên bản, được khám phá vào năm 1879 bởi nhà vật lí Edwin Hall, mô tả cách từ trường áp vuông góc với một dây kim loại làm cho các electron gom về hai đầu dây, gây ra điện áp. Một thế kỉ về sau, nhà vật lí Klaus von Klitzing tiến xa hơn. Làm việc ở nhiệt độ thấp với những lớp vật liệu kết tinh mỏng cỡ vài nguyên tử – gọi là những hệ electron hai chiều – ông phát hiện thấy điện áp này bị lượng tử hóa. Nghĩa là, điện áp biến thiên theo những bước nhảy, khi từ trường áp vào thay đổi. Hiện tượng này là hiệu ứng Hall lượng tử.
Khả năng đo chính xác điện trở có khởi nguồn từ khám phá của von Klitzing rằng điện trở bị lượng tử hóa ở những giá trị tỉ lệ với một kết hợp của hai hằng số vật lí cơ bản: điện tích của electron và hằng số Planck. Hơn nữa, giá trị của điện trở bị lượng tử hóa là chính xác ngay khi vật liệu có chứa lẫn tạp chấp, bằng không thì điện trở sẽ thay đổi. Bởi vậy, hiệu ứng Hall lượng tử được dùng để xác nhận độ chuẩn xác của ohm, đơn vị của điện trở. Von Klitzing nhận Giải Nobel Vật lí cho khám phá này vào năm 1985, 5 năm sau khi bài báo của ông được công bố.
Thế còn toán học thuần túy, và topo học trở nên dính líu như thế nào? Hóa ra thì, lúc ấy, vật lí học chưa thể giải thích đầy đủ tại sao điện trở thay đổi theo những bước rời rạc khi có từ trường đặt vào. Hai năm sau khám phá của Klitzing, nhà vật lí David Thouless đã đưa ra một giải thích sử dụng topo học. Công trình của ông sau đó được những người khác xây dựng tiếp và, vào năm 2016, ông được chia sẻ Giải Nobel Vật lí học.
Nhưng một số nhà toán học không hài lòng với chuẩn chứng minh mà các nhà vật lí nêu ra, và điện trở Hall lượng tử được thêm vào một danh sách nổi tiếng về những bài toán chưa được giải trong vật lí toán.
Mãi đến năm 2015 – 33 năm sau tính toán của Thouless – một phép chứng minh toán học chặt chẽ hơn mới được công bố bởi nhà toán học Spyridon Michalakis, tại Viện Công nghệ California ở Pasadena, và nhà vật lí Matthew Hastings tại Viện Nghiên cứu Microsoft ở Santa Barbara, California. Hai người bắt đầu nghiên cứu bài toán ấy vào năm 2008, theo Michalakis viết trên tạp chí Nature Reviews Physics hồi đầu tháng này.
Các nhà vật lí lí thuyết và toán học biết rằng độ cong trung bình của vật thể hình học – ví dụ như bề mặt của nó – có bản chất topo. Họ cũng biết rằng những biến dạng nhỏ cục bộ ảnh hưởng đến độ cong cục bộ. Còn một lời giải thích chặt chẽ hơn cho điện trở Hall lượng tử đòi hỏi lí thuyết phải mở rộng đến độ cong toàn cầu. Đây là cái thu được bởi Michalakis và Hastings, củng cố mối liên hệ giữa topo học và hiệu ứng Hall lượng tử.
Và câu chuyện vẫn chưa đến hồi kết. Topo học đang thu hút thêm chú ý từ phía các nhà vật lí, và từ phía các nhà tài trợ như Simons Foundation ở New York City, quỹ này đang ủng hộ các nhà toán học và nhà vật lí nghiên cứu những bài toán khó, ví dụ như hiệu ứng Hall lượng tử phân số. Trong hiện tượng này, các tương tác electron phức tạp làm cho điện trở Hall bị lượng tử hóa ở một giá trị đúng bằng phân số của điện tích electron.
Thay vì tìm cách thống nhất hai môn học, như Dirac đề xuất, có lẽ sự khích lệ lớn nhất mà các nhà vật lí có thể đem đến cho các nhà toán học đó là để lại một bài toán đã được giải từng phần. Cuối cùng, phép chứng minh toán học cho điện trở Hall lượng tử có lẽ đã không xuất hiện nếu như câu hỏi ấy không được xem là một trong những bài toán chưa được giải của vật lí toán.
Theo Nature 583, 659 (2020)
