Tập hợp Cantor
Tập hợp Cantor là hiện thân sớm nhất của các đối tượng gọi là fractal. Luận cứ chéo được Georg Cantor phát triển chứng minh rằng những khoảng nhất định trên trục số thực là những tập hợp không đếm được. Nhưng phải chăng toàn bộ các tập hợp không đếm được đều có chứa những khoảng trục như thế? Cantor chỉ ra rằng có thể xây dựng một tập hợp không đếm được không chứa các khoảng trục. Các tập hợp Cantor vô cùng phức tạp; chúng có cấu trúc trên cấp càng lúc càng trơn mượt hơn.
Một ví dụ là tập hợp Cantor bỏ một phần ba ở giữa. Người ta thu được nó bằng cách bắt đầu với một khoảng rồi loại một phần ba ở giữa ra khỏi khoảng ở mỗi giai đoạn. Ở giai đoạn xây dựng thứ n, nó có 2n khoảng, mỗi khoảng dài , và tổng độ dài là . Vì n có xu hướng tiến tới vô cùng, nên số điểm bên trong nó cũng thế, còn độ dài của tập hợp co về zero. Người ta có thể chứng minh rằng thật sự còn lại thứ gì đó ở giới hạn vô cực của sự chia nhỏ này và rằng tập hợp là không đếm được.
Các bài toán của Hilbert
Các bài toán của Hilbert là một danh sách gồm 23 bài nghiên cứu toán học do David Hilbert nêu ra tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Paris năm 1900. Ông xem chúng là chìa khóa cho sự phát triển của toán học trong thế kỉ hai mươi.
Xuyên suốt thế kỉ mười chín, hệ thống tiên đề, do Euclid xứ Alexandria sử dụng đầu tiên, đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực mới. Các nhà toán học đã phát triển các phương pháp thiết lập các tiên đề trong lĩnh vực đang nghiên cứu, ví dụ trong hình học, các điểm, các đường thẳng, các đường cong, và tính chất của chúng, rồi phát triển chủ đề từ các tiên đề này thông qua lô gic.
Nhiều bài toán của Hilbert liên quan đến việc mở rộng phương pháp tiên đề, và lời giải của chúng đã thúc đẩy đáng kể đối với toán học, mặc dù công trình của Kurt Gödel sớm làm thay đổi cách người ta nhìn nhận các lí thuyết tiên đề. Chúng còn thiết lập kiểu mẩu cho việc lập danh sách các bài toán khó tiếp tục cho đến ngày nay.
Lịch sử dạy [chúng ta về] tính liên tục của sự phát triển trong khoa học. Chúng ta biết rằng mỗi thời đại có những bài toán riêng của nó, chúng được thời đại sau đó giải ra hoặc gạt sang bên vì vô nghĩa và thay bằng những bài toán mới!
David Hilbert
TOÁN HỌC CẤP TỐC
Paul Glendinning | Bản dịch của Thuvienvatly.com
