Toán học cấp tốc (Phần 1)

GIỚI THIỆU

Toán học đã hình thành và phát triển trong hơn bốn nghìn năm. Chúng ta vẫn đo góc bằng hệ thống 360 độ do người Babylon nghĩ ra. Hình học ra đời cùng thời với người Hi Lạp cổ đại, những con người cũng hiểu rõ số vô tỉ. Nền văn minh Moors [thuộc Morocco ngày nay] đã phát triển đại số và phổ cập ý tưởng xem zero là một con số.

Toán học có một lịch sử phong phú. Nó vừa cực kì hữu ích – là ngôn ngữ của khoa học, công nghệ, kiến trúc, và thương mại – vừa làm thỏa mãn niềm đam mê trí tuệ. Toán học không những có một quá khứ phong phú, mà nó còn tiếp tục phát triển, vừa theo hướng phức tạp hóa cách tiếp cận đối với những lĩnh vực đã có, vừa theo hướng khám phá hoặc phát minh những lĩnh vực nghiên cứu mới. Trong thời gian gần đây, máy vi tính đã đem lại một phương thức mới thăm dò cái chưa biết, và cho dù các minh chứng toán học truyền thống có là sản phẩm cuối cùng hay không, thì các mô phỏng số vẫn có thể cung cấp một nguồn trực giác mới làm tăng tốc quá trình thai nghén các giả thuyết.

Chỉ người mất trí mới đòi hỏi toàn bộ kiến thức toán học được trình bày trong 200 trương mục vừa miệng ăn. Những gì quyển sách này cố gắng thực hiện là mô tả một số thành tựu toán học, cả cổ xưa lẫn hiện đại, và giải thích tại sao các thành tựu này lại hấp dẫn như thế. Để phát triển một số ý tưởng chi tiết hơn, lẽ đương nhiên là bạn nên tập trung vào toán học cốt lõi. Nhiều ứng dụng của những ý tưởng này chỉ được nhắc thoáng qua mà thôi.

Các ý tưởng toán học được xây dựng trên nhau, và các chủ đề trong quyển sách này được tổ chức sao cho những lĩnh vực có dây rơ rễ má với nhau thì đặt gần nhau. Song bạn hãy nhìn ra những kết nối xa hơn. Một trong những đặc điểm thu hút của toán học là những lĩnh vực nghiên cứu trông có vẻ tách rời hóa ra lại liên hệ sâu sắc với nhau. Ánh trăng ma quái đem lại một ví dụ hiện đại cho điều này, và các phương trình ma trận đem lại một mắt xích rõ rệt hơn.

Bởi thế, quyển sách này là một sự cô đọng của bốn nghìn năm thành tựu nhân loại, và nó có thể chỉ mới là khởi đầu. Tôi hi vọng nó sẽ đem lại niềm hứng khởi để bạn tiếp tục đọc thêm và tư duy sâu sắc hơn.

Paul Glendinning,

Tháng 10/2011

Các con số

Ở mức cơ bản nhất của chúng, các con số chỉ là tính từ mô tả số lượng. Chúng ta có thể nói, chẳng hạn, “ba cái ghế” hay “hai con cừu”. Nhưng cho dù là tính từ, chúng ta vẫn hiểu theo bản năng rằng cụm từ “hai rưỡi con dê” là không có nghĩa. Như vậy, các con số có thể có công dụng và ý nghĩa khác nhau.

Khi người xưa sử dụng chúng theo các kiểu khác nhau, các con số đòi hỏi ý nghĩa biểu trưng, ví dụ như hoa súng mô tả con số 1000 trong chữ tượng hình Ai Cập. Mặc dù hài hòa về mặt thẩm mĩ, nhưng phương pháp trực quan này không thích hợp với sự thao tác đại số. Khi các con số được sử dụng rộng rãi hơn, kí hiệu của chúng trở nên đơn giản dần. Người La Mã đã sử dụng một ít kí hiệu cơ bản để biểu diễn một phạm vi số khổng lồ. Tuy nhiên, các phép tính sử dụng các con số lớn vẫn còn phức tạp.

Hệ thống chữ số hiện đại của chúng ta thừa hưởng từ các nền văn minh Arab thuộc thiên niên kỉ thứ nhất Sau Công Nguyên. Sử dụng số 10 là cơ số, nó khiến các phép tính phức tạp trở nên dễ thực hiện hơn rất nhiều.

Các con số