Các định lí bất toàn của Gödel
Các định lí bất toàn của Gödel là hai kết quả nổi bật đã làm thay đổi cách nhìn của các nhà toán học về toán học tiên đề. Do nhà toán học Đức Kurt Gödel phát triển vào cuối thập niên 1920 và đầu thập niên 1930, các định lí ấy được phát triển từ phương pháp của ông dùng để mã hóa các mệnh đề trong các lí thuyết tiên đề, và để chỉ ra cách sửa các mệnh đề bằng các quy tắc logic.
Mặc dù phương pháp tiên đề dùng để mô tả các lĩnh vực toán học tỏ ra hết sức thành công, nhưng một số lí thuyết sẽ đòi hỏi những tập hợp vô hạn tiên đề bên trong chúng, và do đó các nhà toán học lo lắng tìm kiếm những phương pháp chính thống chứng minh tính hoàn chỉnh và nhất quán của một tập hợp tiên đề đã cho.
Một tập hợp tiên đề đúng là hoàn chỉnh nếu nó có thể chứng minh hoặc bác bỏ bất kì mệnh đề nào bằng ngôn ngữ thích hợp của nó, còn một tập hợp tiên đề là nhất quán nếu không có mệnh đề nào vừa được chứng minh vừa bị bác bỏ. Định lí thứ nhất của Gödel phát biểu rằng:
Trong mỗi lí thuyết tiên đề (thích hợp), tồn tại các mệnh đề có ý nghĩa trong lí thuyết đó nhưng không thể chứng minh là đúng hay sai trong lí thuyết đó.
Điều này có nghĩa là các tiên đề của một lí thuyết, cái chúng ta hi vọng mô tả được lí thuyết đó một cách hoàn chỉnh, không bao giờ làm được yêu cầu này, và người ta luôn có thể bổ sung thêm số lượng tiên đề. Như thể điều này chưa đủ tệ, định lí thứ hai liên quan đến tính nội nhất quán của các tập hợp tiên đề:
Chỉ có thể chứng minh một tập hợp tiên đề (thích hợp) là không nhất quán, chứ không chứng minh được chúng là nhất quán.
Nói cách khác, chúng ta không bao giờ có thể đảm bảo một tập hợp tiên đề không chứa các mâu thuẫn tiềm ẩn.
Các kết quả của Gödel có những hàm ý nổi bật đối với triết lí toán học – thế nhưng, nói chung, các nhà toán học có xu hướng tiếp tục làm việc như thể chẳng có gì thay đổi.
Tiên đề chọn
Tiên đề chọn là một quy tắc cơ bản thường được thêm vào danh sách các tiên đề dùng để định nghĩa tư duy toán học. Nó được vận dụng toàn bộ trong luận cứ chéo của Cantor, và trong nhiều chứng minh toán học khác liên quan đến việc giả định các danh sách vô hạn có một sự tồn tại trừu tượng nào đó, và rằng người ta có thể đưa ra một loạt vô hạn các lựa chọn.
Chính xác hơn, các chứng minh này nói rằng, cho trước một số vô hạn tập hợp khác rỗng có chứa nhiều hơn một phần tử, ta có thể chọn ra một dãy vô hạn phần tử tương ứng từng đôi một với mỗi tập hợp. Đối với một số người, điều này trông thật vô lí – vô cực lại gây lúng túng – song quy tắc cho phép một thủ tục như thế đó là tiên đề chọn.
Ta có thể chọn những tiên đề khác, chúng cho phép tiên đề chọn nảy sinh như một định lí, nhưng cho dù sử dụng phiên bản nào, việc bổ sung thêm tiên đề chọn này vào tập hợp cơ bản của các quy tắc logic là cần thiết để làm cho những luận cứ như thế hợp lệ.
TOÁN HỌC CẤP TỐC
Paul Glendinning | Bản dịch của Thuvienvatly.com
