Bài báo năm 1913 của Niels Bohr: Vẫn hợp thời, vẫn hào hứng, vẫn thách đố

Bài của Kenneth W. Ford đăng trên tạp chí The Physics Teacher 56, 500 (2018); https://doi.org/10.1119/1.5064553

Tóm tắt. Nhiều thầy cô giáo thích giới thiệu mẫu nguyên tử Bohr vào cuối học phần vật lí sơ cấp. Đây là một ý tưởng tuyệt vời, vì tầm quan trọng lịch sử của công trình năm 1913 của Bohr, nó bắt cầu nối từ sự tương tác lượng tử hóa Planck của vật chất và bức xạ (1900) với lí thuyết đầy đủ về cơ học lượng tử (1925-28). Thật không may, phiên bản nguyên tử Bohr như thế hình như có mặt trong nhiều giáo trình và, chẳng nghi ngờ gì nữa, học sinh thường được dạy rằng mẫu Bohr sai nhiều hơn đúng và thầy cô giáo lẫn học sinh có thể tự hỏi vì sao, sau hơn một trăm năm đã qua, nó vẫn còn được dạy. Phiên bản “sư phạm” này giả thuyết rằng mỗi electron ở trong một trạng thái dừng chuyển động theo quỹ đạo tròn với moment động lượng bằng bội số nguyên lần của h/2π (L = nh/2π = nħ) – ħ cho trạng thái năng lượng thấp nhất, 2ħ cho trạng thái tiếp theo, và cứ thế. Hình ảnh này về nguyên tử hydrogen là sai ở hai ý nghĩa. Thứ nhất, nó không phù hợp với hiểu biết hiện nay của chúng ta về nguyên tử hydrogen. Tự nó đây chẳng phải lí do để gạt bỏ mẫu Bohr, vì sự phát triển lịch sử của vật lí lượng tử chắc chắn đáng quan tâm. Nhưng thứ hai, nó không phù hợp với bản chất của việc Bohr thật sự đã làm. Đó là lí do không nên dạy về các quỹ đạo tròn và L = nħ.

Đã có các công trình khảo cứu tuyệt vời dành cho công trình năm 1913 của Bohr.³ Bài báo này không có ý định mở rộng hay làm phong phú thêm những khảo cứu đó. Thay vậy, tôi muốn thu hút sự chú ý của các thầy cô giáo dạy vật lí sơ cấp đến những đỉnh cao của bài báo gốc năm 1913 của Bohr về nguyên tử hydrogen và làm sáng tỏ cái gì trong bài báo ấy là đúng và cái gì là sai (đồng thời cái gì là kì lạ). Như tôi đã trình bày trong một bài báo trước đây,⁴ bài báo ấy có nhiều cái đúng và ít cái sai hơn so với số đông người ta công nhận. Còn với cái kì lạ, vâng, nó thật thú vị.

CÁI GÌ ĐÚNG

Cần hằng số h

Bohr chấp nhận mẫu nguyên tử Rutherford – một hạt nhân bé xíu, tích điện dương cùng với các electron vây xung quanh (được cho là quay tròn) – nhưng ông nhận thấy chỉ riêng cơ học cổ điển không thể giải thích cấu trúc nguyên tử. Cần phải thêm vào cái gì đó mới. Cái gì đó chính là hằng số Planck. Bohr chấp nhận luận điểm của Planck rằng vật chất phát ra bức xạ theo từng gói lượng tử, và lập luận rằng hành trạng này phải áp dụng được cho từng nguyên tử cũng như bất kì dạng vật chất nào khác. (Bohr không chấp nhận các hạt ánh sáng của Einstein⁵ – cái ngày nay chúng ta gọi là photon – nhưng ông chẳng cần đến. Chính cấu trúc của nguyên tử, chứ không phải các đặc tính của bức xạ mà nó phát ra, mới là thứ Bohr đang xử lí. Dù ông có chấp nhận các photon, thì cũng chẳng có khác biệt nào với công trình của ông.) Lập luận của Bohr có thể giải thích như sau. Nguyên tử là một cấu trúc cơ giới phát ra (và hấp thụ) bức xạ. Vì bức xạ có bản chất lượng tử, nên cấu trúc cơ học ấy cũng vậy.

Bohr mang h vào hình vẽ ở trang 2 của bài báo dài 25 trang của ông (Hình 1 là ảnh chụp trang 1). Ở trang 2 ông lưu ý rằng trong khi J.J. Thomson giả định một quả cầu mang điện dương chiếm toàn bộ kích cỡ nguyên tử, thì mô hình Rutherford tự nó chẳng đem lại cách nào biết được kích cỡ nguyên tử. Bohr trình bày rằng người ta không thể xây dựng một đại lượng với thứ nguyên chiều dài từ khối lượng và điện tích electron (và, chúng ta có thể bổ sung thêm, tùy thuộc vào các đơn vị, tốc độ ánh sáng và hằng số lực điện k). Nhưng nếu hằng số Planck được bổ sung như một thành phần, thì ta có thể tìm được một kết hợp gồm các hằng số không những có thứ nguyên chiều dài mà còn có bậc độ lớn cho kích cỡ nguyên tử. (Tất nhiên, đây là cái ngày nay chúng ta gọi là bán kính Bohr – cho thêm một hệ số nữa.)

Trang 1 bài báo gốc năm 1913 của Bohr về cấu trúc nguyên tử, trích từ số tháng Bảy năm 1913 tạp chí Philosophical Magazine.

Các trạng thái dừng

Bohr dùng từ “dừng” (một thuật ngữ chúng ta vẫn sử dụng) không phải muốn nói không có chuyển động, mà để nói là không có sự biến đổi, không phát bức xạ (cho đến nay, thật bất ngờ, nó vẫn được hiểu thế).⁶ Ông đưa ý tưởng này vào trang 4 và làm rõ nó ở trang 5. (Theo Bohr, các trạng thái dừng là các trạng thái cổ điển của chuyển động quỹ đạo elip. Thật ra toàn bộ tiền đề cho bài báo của Bohr cho rằng nguyên tử là một thực thể cổ điển khi nó không phát xạ, và là một thực thể lượng tử khi nó phát xạ. Xem “Cái gì sai” ở phần dưới.)

Các bước nhảy lượng tử

Ý tưởng này có thể xem xét ở hai góc độ. Hoặc nó là một trong những giả thuyết thật sự mang tính cách mạng của Bohr, hoặc nó chỉ đơn thuần là sự gán ghép một mẫu nguyên tử mà Planck đã giả định cho sự phát bức xạ nói chung. Có lẽ phe ủng hộ nhân vật cách mạng có lập luận đanh thép hơn bởi vì, trong lí thuyết Planck, không có đề xuất nào nói rằng một dao động tử thay đổi tần số dao động của nó khi phát bức xạ. Bohr thừa nhận, lần đầu tiên, rằng tần số của ánh sáng phát ra không bằng tần số của chuyển động cơ trước hoặc sau khi phát bức xạ, mà nó được xác định bằng hiệu năng lượng giữa trạng thái đầu và trạng thái cuối.

Bảo toàn năng lượng

Trong bài báo này, có vẻ Bohr xem sự bảo toàn năng lượng ở cấp nguyên tử là “hiển nhiên”, nhưng thật ra sự bảo toàn năng lượng, cho đến thời ấy, chỉ mới được chứng minh ở cấp vĩ mô, chưa từng được chứng minh ở cấp nguyên tử. Vì thế ý tưởng ấy đáng được xem là một giả thuyết quan trọng. Nó được Bohr sử dụng ở đầu trang 3 trong bài báo của ông. (Cũng nên lưu ý rằng những năm sau này, vào thập niên 1920, Bohr sẵn lòng ấp ủ ý tưởng rằng trong các quá trình nguyên tử và hạt nhân, sự bảo toàn năng lượng chỉ đúng về mặt thống kê trên nhiều sự kiện, chứ không đúng trong từng sự kiện một.⁵)

Nguyên lí tương ứng

Đây là một ý tưởng hết sức quan trọng và hoàn toàn mới mẻ - rằng khi hiệu năng lượng giữa các trạng thái lượng tử liền kề trở nên nhỏ, thì hệ hành xử, với mức gần đúng tốt, theo kiểu cổ điển. Quan trọng nhất, điều này có nghĩa là, với một nguyên tử đơn lẻ, tần số bức xạ và tần số cơ gần như bằng với trường hợp một nguyên tử kích thích cao. Nguyên lí này đem lại một liên hệ căn bản giữa thế giới lượng tử và thế giới cổ điển, và cho phép Bohr lí giải dãy Balmer và hằng số Rydberg theo cách thuyết phục nhất. Nhưng đến trang 13 của bài báo Bohr mới đưa ra ý tưởng này, trước tiên nói qua một số lập luận nhập nhằng và đáng ngờ rồi đi đến giải đáp đúng gần như là tình cờ. (Xem “Cái gì lạ” ở phần bên dưới.)

Chẳng liên quan đến độ lệch tâm

Người ta thường bảo Bohr giả định các quỹ đạo tròn. Điều này đúng với nỗ lực của ông muốn phát triển một lí thuyết về các nguyên tử nhiều electron, trong đó việc sao chép các quỹ đạo elip sẽ trở thành một nhiệm vụ vô vọng (và thật ra nếu sử dụng các quỹ đạo tròn thì cũng chẳng hi vọng tiến bộ gì nhiều). Trong bài báo gốc này, ông giả định, ở trang 3, rằng electron trong các trạng thái dừng chuyển động trong các quỹ đạo elip cổ điển. Sau đó ở trang 4, ông nói ta có thể dung thứ được nếu vờ như các quỹ đạo là tròn, bởi vì năng lượng của electron (theo cổ điển) chỉ phụ thuộc vào bán trục chính của elip, chứ không phụ thuộc độ lệch tâm của elip. Bohr nhắc tới các elip một lần nữa ở trang 13. Vì thế, câu chuyện mà người ta thường kể rằng ông giả định các quỹ đạo tròn là sai đối với nguyên tử một electron.

CÁI GÌ SAI (NHƯNG KHÔNG NGHIÊM TRỌNG LẮM)

Trong một trạng thái dừng, electron chuyển động trong một quỹ đạo cổ điển

Các nhận định về hiệu ứng này xuất hiện ở trang 3, 4, và 13. Và ở trang 7 Bohr đưa ra nhận định tổng quát rằng cơ học cổ điển là đủ để giải thích các trạng thái dừng. Mặc dù điều này không đúng, nhưng chẳng sao cả. Trong chừng mực mà lí thuyết về nguyên tử hydrogen được trình bày trong bài báo này được quan tâm, electron có thể chuyển động theo quỹ đạo lục giác hay hoa hòe hoa sói cũng chẳng sao. Toàn bộ vấn đề là khi không phát xạ hoặc hấp thu bức xạ, các electron chiếm giữ các trạng thái dừng có năng lượng nhất định.

Moment động lượng của electron bị lượng tử hóa theo quy tắc L = nħ

Nhận định này xuất hiện đầu tiên ở trang 15 trong bài báo của Bohr, tại đây ông “lên dây cót” cho một cuộc tập kích vào các nguyên tử nhiều electron. Lí thuyết về nguyên tử hydrogen về cơ bản đã hoàn chỉnh tại trang này của bài báo. Sự lượng tử hóa moment động lượng quỹ đạo được nêu ra ở đây là một suy luận, chứ không phải định đề. Bohr nói rằng giả sử quỹ đạo là tròn và giả sử các quy tắc cơ học cổ điển áp dụng được cho các trạng thái dừng, thì moment động lượng bị lượng tử hóa theo quy tắc này. Tất nhiên, hóa ra sau này moment động lượng quỹ đạo thật sự bị lượng tử theo bội số nguyên của ħ, nhưng không tỉ lệ với số lượng tử chính n, và đặc biệt không phải với trạng thái cơ bản thì moment động lượng bằng ħ (xem Bảng 1). Ở trang 20 và một lần nữa ở trang 24 trong bài báo này, Bohr có vẻ hơi lạc đề với cái, ở trang 20, ông mô tả là “chủ đề chính của bài báo này – thảo luận về trạng thái ‘vĩnh cửu’ của một hệ gồm hạt nhân và các electron liên kết”.⁷ Ở trạng thái cơ bản của mọi nguyên tử và mọi phân tử, ông thừa nhận, mỗi electron có moment động lượng ħ. Một khẳng định đáng giật mình (và không đúng).

Bảng 1. Moment động lượng quỹ đạo của nguyên tử hydrogen tính theo đơn vị ħ.

Nhưng không có “cái sai” nào của Bohr gây ảnh hưởng đến lí thuyết thành công về nguyên tử một electron – giải thích dãy Balmer và tính hằng số Rydberg – đó là thắng lợi của phần đầu của bài báo.

CÁI GÌ LẠ

Mãi đến trang 13 của bài báo Bohr mới tung ra vũ khí mạnh nhất của ông, nguyên lí tương ứng – nguyên lí nói rằng khi một electron ở xa hạt nhân, các bước nhảy lượng tử liên tiếp của nó từ trạng thái n sang trạng thái n – 1 đến trạng thái n – 2, vân vân, “tương ứng” với một electron cổ điển chuyển động xoắn ốc vào trong. Khi ấy tần số bức xạ phát ra trong bước nhảy lượng tử n sang n – 1 sẽ (gần như) bằng tần số quỹ đạo của electron ở trạng thái n, đó sẽ là tần số của bức xạ phát ra theo lí thuyết cổ điển. Điểm mấu chốt của nguyên lí tương ứng là nó đem lại một cách liên hệ hai tần số: tần số cơ của chuyển động quỹ đạo và tần số của bức xạ phát ra – các tần số bằng nhau theo lí thuyết cổ điển nhưng không bằng nhau theo cơ học lượng tử (ngoại trừ trong “giới hạn tương ứng”). Sử dụng nguyên lí này cùng với các tiên đề về các trạng thái dừng, các bước nhảy lượng tử, sự bảo toàn năng lượng vi mô, Bohr đã có thể đạt tới sự hiểu biết về quang phổ vạch của hydrogen và độ lớn của hằng số Rydberg.

Nhưng trước khi đạt tới điểm này, Bohr, bắt đầu ở các trang 4-5 của bài báo, đi theo mối liên hệ giữa tần số quỹ đạo và tần số bức xạ theo một cách khác (cái tôi gọi là một cách lạ). Ông giả định rằng khi một electron thực hiện một bước nhảy lượng tử từ một khoảng cách ở rất lớn, trong đó tần số quỹ đạo của nó về cơ bản bằng zero, đến một trạng thái dừng ở gần bên trong, thì nó phát ra bức xạ có tần số bằng nửa tần số quỹ đạo của trạng thái cuối. Nói cách khác, ông cho rằng tần số phát ra là một trung bình số học đơn giản của các tần số quỹ đạo đầu và cuối. (Ông đã ít nhiều trả lời một câu hỏi mà Rutherford đặt ra cho ông, “Làm thế nào electron ấn định được nó đang phát ra tần số nào?”) Nhưng khoan đã. Nó còn lạ hơn nữa. Sau đó Bohr tiếp tục đề xuất rằng khi thực hiện bước nhảy này từ vị trí ngoài xa vào một trạng thái dừng, electron phát ra n lượng tử năng lượng bằng nhau, mỗi lượng tử có năng lượng W/n, trong đó W là năng lượng liên kết của trạng thái cuối. (Lưu ý về kí hiệu của Bohr: Ông gọi tần số quỹ đạo của electron là ω, và ông dùng τ cho cái tôi đang gọi ở đây là n.)

Đáng chú ý, mọi thứ đều suôn sẻ hết. Rồi Bohr thu được một chuỗi trạng thái liên kết, được đặc trưng bởi n = 1, n = 2, n = 3, vân vân, có năng lượng liên kết (~ 1/n²) khớp với giá trị xác định trên thực nghiệm (W = 13,6 eV/n²) và có bán trục lớn (~n²) phù hợp với cái đã biết về kích cỡ nguyên tử.

Nhưng hãy nghĩ tới các hàm ý của mô hình này! Nó nói rằng trạng thái cơ bản được thiết lập khi một electron nhảy tót qua hết các trạng thái khác, phát ra một lượng tử bức xạ 13,6 eV. Trạng thái kích thích thứ nhất được thiết lập khi một electron nhảy từ một khoảng cách lớn, phát ra hai lượng tử, mỗi lượng tử năng lượng 13,6 eV/8. Và trạng thái n = 10 được thiết lập khi một electron phát ra 10 lượng tử, mỗi lượng tử năng lượng 13,6 eV/1000. Tất nhiên, để giải thích quang phổ quan sát được, sau đó Bohr phải cho phép mỗi electron có thể nhảy từ trạng thái liên kết bất kì sang một trạng thái liên kết năng lượng thấp hơn, phát ra đúng một lượng tử năng lượng như nó vốn thế.

Bohr “tránh xa” mô hình nhiều lượng tử kì cục này bởi vì (a) nó đem lại đáp số đúng và (b) ông đã có nguyên lí tương ứng trong túi mình rồi. Vũ khí bí mật mà ông triển khai, như đã lưu ý ở trên, ở trang 13 trong bài báo của ông. Ở trang 12 trước đó, ông đi tới thảo luận nguyên lí tương ứng với nhận xét rằng mô hình nhiều lượng tử, thật ra, là “không khả thi; vì ngay khi một lượng tử được phát ra thì tần số đã biến đổi”.

Sau đó Bohr trở lại với nguyên lí tương ứng và mọi thứ lại suôn sẻ.

Tôi chân thành cảm ơn Finn Aaserud và Terry Christensen vì đã cung cấp thông tin và cho lời khuyên.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Niels Bohr, “On the Constitution of Atoms and Molecules”, Philos. Mag. 26 (6), 1–25 (tháng Bảy 1913). Đây là bài đầu tiên trong ba bài báo năm 1913 của Bohr, thường được gọi là “bộ ba luận”. Tổng cộng, ba bài báo chiếm 70 trang. Ở đây tôi chỉ khảo cứu bài báo thứ nhất, 25 trang. Bộ ba bài đầy đủ có tại https://doi.org/10.1080/14786441308634955.
Finn Aaserud và J. L. Heilbron, Love, Literature, and the Quantum Atom (Oxford University Press, 2013).

2. Một đội nghiên cứu đã tìm thấy rằng khi “mẫu Bohr” được giảng dạy sớm trong khóa học vật lí hiện đại, nó không gây nhiễu cho khả năng của sinh viên tích hợp “mẫu Schrödinger” được giảng dạy ở phần sau khóa học, thành thế giới quan của họ: S. B. McKagan, K. K. Perkins, and C. E. Wieman, “Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively,” Phys. Rev. ST Phys. Educ. Res. 4, 010103 (2008). https://doi.org/10.1103/PhysRevSTPER.4.010103.

3. Ví dụ: James L. Heilbron và Thomas S. Kuhn, “The Genesis of the Bohr Atom,” Historical Stud. Phys. Sci. 1, 211–290(1969).
Helge Kragh, Niels Bohr and the Quantum Atom: The Bohr Model of Atomic Structure 1913-1925 (Oxford University Press, 2012); sách Aaserud-Heilbron trích dẫn trong tham khảo 1. 

4. Kenneth W. Ford, “Teaching the Bohr atom,” Letter to the Editor, Phys. Teach. 56, 196 (tháng Tư  2018). https://doi.org/10.1119/1.5028224.

5. Abraham Pais, Niels Bohr’s Times: In Physics, Philosophy, and Polity (Oxford University Press, 1994), trang 233.

6. Bohr sử dụng một thuật ngữ khác, “đồng đều”, theo một kiểu ngày nay không quen thuộc lắm. Khi nói bức xạ đồng đều, ông muốn nó bức xạ có một tần số duy nhất.

7. “Trạng thái vĩnh cửu” của Bohr là cái ngày nay chúng ta gọi là trạng thái cơ bản.

Trần Nghiêm dịch từ The Physics Teacher, số tháng 11/2018