Câu hỏi vận tốc chuyển động của hành tinh
Một kết luận không định lượng thấy ngay từ định luật Kepler thứ nhất và thứ hai là các hành tinh chuyển động ở những tốc độ khác nhau tại những vị trí khác nhau trong quỹ đạo của chúng. Hình elip là một vòng tròn dẹt, với diện mạo trông tựa quả khí cầu, và có hai trục đối xứng, trục dài và trục ngắn. Nếu hình elip trong câu hỏi là một quỹ đạo hành tinh, thì Mặt trời sẽ nằm trên trục dài gần elip. Giờ hãy tưởng tượng một hành tinh di chuyển một quãng đường nhỏ từ ngay phía trên trục dài gần Mặt trời đến ngay phía dưới trục dài gần Mặt trời. Ta có thể lấy xấp xỉ diện tích mà nó quét bằng cách sử dụng diện tích của một tam giác cân (mặc dù quỹ đạo của hành tinh là cong, nhưng trên những quãng dịch chuyển nhỏ, ta có thể coi hợp lí nó là một đoạn thẳng vuông góc với trục dài). Chiều cao của hình tam giác đó là khoảng cách từ Mặt trời đến elip tính theo trục dài, nhỏ hơn một nửa chiều dài của trục dài vì chúng ta đặt Mặt trời ở trên trục dài gần elip. Rõ ràng là nếu hành tinh chuyển động ở tốc độ bằng nhau tại mọi thời điểm, thì nó sẽ đi được những quãng đường bằng nhau trên quỹ đạo của nó khi nó ở gần Mặt trời hoặc tại vị trí đối xứng trên quỹ đạo của nó ở phía xa Mặt trời. Giả sử hành tinh luôn luôn chuyển động ở một vận tốc không đổi. Nếu hành tinh đi được quãng đường nhỏ bằng như vậy từ ngay phía trên trục dài ở phía xa Mặt trời đến ngay phía dưới trục dài ở phía xa Mặt trời, thì diện tích mà nó quét theo định luật Kepler thứ hai một lần nữa có thể lấy gần đúng là một tam giác có cạnh đáy bằng cạnh đáy của tam giác ở gần Mặt trời. Tuy nhiên, lần này chiều cao của tam giác – khoảng cách từ Mặt trời theo trục dài đến elip, lớn hơn nửa chiều dài của trục dài, và vì thế hai tam giác có diện tích khác nhau. Nếu định luật Kepler thứ nhất và thứ hai là đúng, thì hành tinh không thể chuyển động ở một vận tốc như nhau khi nó ở gần Mặt trời cũng như khi nó ở xa Mặt trời.
Công trình của Newton về giải tích sẽ là vô giá trong việc lí giải điều đó xảy ra như thế nào. Một trong những cái sắc sảo mà giải tích mang lại là phương tiện để xác định các đại lượng đang biến thiên đều – ví dụ, tốc độ của một hành tinh hay một chiếc xe hơi – tại bất kì thời điểm nào cho trước. Lấy thí dụ, hãy tưởng tượng một chiều nọ, tôi lái xe từ Los Angeles đến San Diego, đi quãng đường 120 dặm trong ba giờ đồng hồ. Tính toán số học đơn giản cho tôi biết vận tốc trung bình của tôi trong chuyến đi là 40 dặm trên giờ, nhưng nó không thể cho tôi biết tôi đang đi nhanh bao nhiêu khi tôi đi qua cột cây số thứ năm, hoặc tôi đang đi chậm bao nhiêu khi tôi tiến đến trạm giao thông gần Viejo. Để xác định xe của tôi đang chạy nhanh bao nhiêu lúc 2 giờ chiều, chúng ta cần nhìn vào bảng tổng hợp tốc độ trung bình của chiếc xe của tôi trong những khoảng thời gian ngắn liên tiếp vào lúc ấy. Vận tốc trung bình của chiếc xe tính trong một khoảng thời gian một giây là một gần đúng với tốc độ thật sự của chiếc xe lúc bắt đầu khoảng thời gian đó chính xác hơn so với vận tốc trung bình của chiếc xe tính trong một khoảng thời gian một phút – vì trong khoảng thời gian một phút thì có nhiều rất nhiều thời gian để chiếc xe thay đổi vận tốc so với trong khoảng thời gian một giây. Nếu chúng ta đo vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian còn ngắn hơn nữa – ví dụ trong 0,001 giây – thì nó cực kì gần với tốc độ chính xác của chiếc xe lúc bắt đầu khoảng thời gian đó, tất nhiên giả sử tôi không va quẹt với chiếc xe tải nào cả trong 0,001 giây đó.
Quyển Principia của Newton không những nhận ra điều này, mà còn phát biểu một phương pháp tính vận tốc tức thời tại bất kì thời điểm nào bằng phương tiện mà sinh viên giải tích được học là phương pháp thương số gia lấy giới hạn của các trung bình. Ông cũng báo trước sự khó khăn mà sinh viên giải tích gặp phải khi học phương pháp này.
“Thay vậy, tôi chọn giản lược các chứng minh của những định đề sau đây đối với tổng thứ nhất và tổng cuối và tỉ số của những đại lượng mới sinh và đại lượng nhất thời, nghĩa là đối với giới hạn của những tổng và tỉ số đó; và vì thế để giả thiết, như tôi có thể nói càng ngắn càng tốt, các chứng minh của những giới hạn đó. Do đó, điều tương tự được thực hiện bằng phương pháp những đại lượng không thể chia nhỏ; và giờ thì những nguyên lí đó đã được chứng minh, ta có thể sử dụng chúng một cách an toàn hơn. Do đó, nếu từ đây về sau tôi xét những đại lượng như cấu tạo của các hạt hay sử dụng những đường cong nhỏ cho hợp lí, tôi sẽ không hiểu là những đại lượng không thể chia nhỏ, mà là những đại lượng có thể chia nhỏ nhất thời; không phải cá tổng và tỉ số của những phần xác định, mà luôn luôn là giới hạn của các tổng và tỉ số; và động lực của những chứng minh như vậy luôn luôn phụ thuộc vào phương pháp đã thiết lập trong bổ đề vừa nói”.
Tôi có kiến thức giải tích không tệ, nhưng chật vật lắm tôi mới đọc hết sự lí giải của Newton trong đoạn trên, và tôi nghĩ sinh viên thế kỉ 21 không nên đọc sách vở của ông làm gì, vì họ sẽ hầu như không thể học được gì từ sách vở của ông, dù là giải tích hay là lí thuyết vạn vật hấp dẫn.
Những con số làm nên vũ trụ
James D. Stein
Bản dịch của Thuvienvatly.com
