Phương pháp giải bài toán động học

Chúng tôi trích giới thiệu với các bạn một số bản dịch từ tác phẩm Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông của hai tác giả người Nga L. Tarasov và A. Tarasova, sách xuất bản ở Nga năm 1968. Bản dịch lại từ bản tiếng Anh xuất bản năm 1973.

Các bài giảng được trình bày dưới dạng thảo luận hỏi đáp giữa giáo viên và học sinh.

§ 5. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC

GV: Giả sử hai vật đang rơi từ một độ cao nhất định. Một vật không có vận tốc ban đầu và vật kia có một vận tốc ban đầu nhất định theo phương ngang. Từ đây trở về sau chúng ta sẽ bỏ qua sức cản của không khí. So sánh thời gian để hai vật rơi xuống chạm đất.

HS: Chuyển động của một vật bị ném ngang có thể xem là sự kết hợp của hai chuyển động: thẳng đứng và nằm ngang. Thời gian bay được xác định bởi thành phần thẳng đứng của chuyển động. Vì chuyển động theo phương thẳng đứng của vật được xác định trong cả hai trường hợp bởi số liệu giống nhau (cùng một độ cao và không có thành phần thẳng đứng của vận tốc ban đầu), nên thời gian rơi là như nhau đối với cả hai vật. Nó bằng √(2H/g), trong đó H là độ cao ban đầu.

GV: Hoàn toàn đúng. Giờ ta hãy xét một trường hợp phức tạp hơn. Giả sử hai vật đang rơi từ độ cao H với vận tốc ban đầu bằng không, nhưng trên đường rơi của nó một trong hai vật gặp phải một mặt phẳng cố định, nghiêng một góc 45^o so với phương ngang. Hệ quả của sự va chạm này là hướng vận tốc của vật trở thành nằm ngang (Hình 23). Điểm tiếp xúc nằm ở độ cao h. Hãy so sánh thời gian rơi của hai vật.

HS: Cả hai vật mất thời gian rơi như nhau đến mức ngang mặt phẳng nghiêng. Hệ quả của sự va chạm lên mặt phẳng đó là một trong hai vật thu lấy một thành phần nằm ngang của vận tốc. Tuy nhiên, thành phần nằm ngang này không thể ảnh hưởng đến thành phần thẳng đứng của chuyển động của vật. Vì thế, trong trường hợp này, thời gian rơi sẽ là như nhau đối với cả hai vật.

GV: Em sai rồi. Em đã đúng khi nói thành phần nằm ngang của vận tốc không ảnh hưởng đến chuyển động thẳng đứng của vật, và hệ quả là không ảnh hưởng đến thời gian rơi của nó. Khi vật chạm trúng mặt phẳng nghiêng, nó không những thu lấy một thành phần vận tốc nằm ngang, mà nó còn mất thành phần thẳng đứng của vận tốc của nó, và tất nhiên điều này phải ảnh hưởng đến thời gian rơi. Sau khi va chạm với mặt phẳng nghiêng, vật rơi từ độ cao h với vận tốc thẳng đứng ban đầu bằng không. Sự va chạm với mặt phẳng nghiêng làm chậm chuyển động thẳng đứng của vật và do đó làm tăng thời gian rơi của nó. Thời gian rơi đối với vật rơi thẳng xuống đất là √(2H/g); thời gian rơi đối với vật va chạm với mặt phẳng nghiêng là √(2(H – h)g) + √(2h/g).

Kết quả này đưa chúng ta đến câu hỏi sau đây: tỉ số h/H là bao nhiêu thì thời gian rơi sẽ đạt tới giá trị tối đa của nó? Nói cách khác, mặt phẳng nghiêng đặt ở độ cao nào thì nó chậm chuyển động rơi nhất?

HS: Em không có khả năng trả lời chính xác câu hỏi này. Theo em thì tỉ số h/H không nên gần bằng 1 hoặc bằng 0, vì một tỉ số bằng 1 hoặc 0 là tương đương với không có mặt phẳng nghiêng nào hết. Mặt phẳng nghiêng nên đặt ở đâu đó khoảng chính giữa mặt đất và điểm rơi ban đầu.

GV: Nhận xét định tính của em khá đúng đấy. Nhưng em sẽ không gặp khó khăn gì để tìm câu trả lời chính xác cả. Chúng ta có thể viết thời gian rơi của vật như sau

Nếu thời gian là cực đại, thì bình phương của nó cũng đạt cực đại. Cái rõ ràng từ phương trình trên là t² đạt cực đại khi hàm y = (1 – x)x đạt cực đại. Như vậy, vấn đề suy luận thành đi tìm giá trị cực đại của tam thức bậc hai

y = – x² + x = – (x – ½)² + ¼

Tam thức này đạt cực đại tại x = ½. Như vậy, độ cao h bằng một nửa độ cao H.

Ở phần tiếp theo chúng ta sẽ nói về những bước cơ bản để giải những bài toán động học xoay quanh ví dụ một vật được ném lên nghiêng một góc so với phương ngang (thường gọi là ném xiên).

HS: Em không rành những bài toán như vậy cho lắm.

GV: Ta sẽ bắt đầu với dạng thức thường gặp của bài toán: một vật được ném lên nghiêng một góc a so với phương ngang với vận tốc ban đầu v_o. Hãy tìm thời gian bay T, tầm bay cao H và tầm bay xa L. Như thường lệ, trước tiên ta tìm các lực đang tác dụng lên vật. Có một lực duy nhất là trọng lực. Như vậy, vật chuyển động với vận tốc không đổi theo phương ngang và với gia tốc không đổi g theo phương thẳng đứng. Ta sẽ phân tích riêng thành phần chuyển động thẳng đứng và nằm ngang, vì mục đích ta phân tích vector vận tốc ban đầu thành thành phần thẳng đứng (v₀sinα) và nằm ngang (v₀cosα). Thành phần vận tốc nằm ngang giữ nguyên không đổi trong suốt lúc bay trong khi thành phần thẳng đứng biến thiên như thể hiện trên Hình 24. Ta hãy xét thành phần thẳng đứng của chuyển động. Thời gian bay T = T₁ + T₂, trong đó T₁ là thời gian bay lên (vật đi lên thẳng đứng chậm dần đều) và T₂ là thời gian bay xuống (vật đi xuống nhanh dần đều). Vận tốc thẳng đứng của vật tại điểm cao nhất của quỹ đạo của nó (tại thời điểm t = T₁) rõ ràng là bằng không. Mặt khác, vận tốc này có thể biểu diễn bằng công thức thể hiện sự phụ thuộc của vận tốc của chuyển động chậm dần đều theo thời gian. Ta có

Thời gian bay xuống T₂ có thể tính bằng thời gian vật rơi từ độ cao H đã biết mà không có vận tốc thẳng đứng ban đầu

Ta có thể thấy từ phương trình (17) rằng nếu tổng hai góc tại đó hai vật được ném lên là bằng 90^o và nếu hai vận tốc ban đầu là bằng nhau, thì hai vật sẽ rơi tại cùng một điểm.

Đến đây thì mọi thứ với em đã rõ ràng hay chưa?

HS: À vâng, mọi thứ dường như đã rõ.

GV: Tốt. Sau đây chúng ta sẽ thêm chút phức tạp nữa. Giả sử có một lực của gió không đổi F nằm ngang tác dụng lên vật. Trọng lượng của vật là P. Như trong trường hợp trước, hãy tìm thời gian bay T, tầm bay cao H và tầm bay xa L.

HS: Ngược với bài toán trước, chuyển động nằm ngang của vật là không đều, bây giờ nó chuyển động với gia tốc nằm ngang a = (F/P)g.

GV: Có bất kì thay đổi nào ở thành phần thẳng đứng của chuyển động hay không?

HS: Vì lực của gió tác dụng theo phương ngang, nên gió không thể ảnh hưởng đến chuyển động thẳng đứng của vật.

GV: Tốt. Giờ hãy cho tôi biết những đại lượng cần tìm nào có cùng giá trị như ở bài toán trước.

HS: Rõ ràng đây sẽ là thời gian bay T và tầm bay cao H. Chúng là những đại lượng được xác định trên cơ sở chuyển động thẳng đứng của vật. Do đó chúng sẽ có giá trị bằng như trong bài toán trước.

GV: Hay. Thế còn tầm bay xa?

HS: Gia tốc theo phương ngang và thời gian bay là đã biết, nên có thể tính ra tầm bay xa. Ta có

Tiếp theo ta sẽ xét một bài toán mới: một vật được ném lên nghiêng một góc α so với một mặt phẳng nghiêng hợp một góc β với phương ngang (Hình 25). Vận tốc ban đầu của vật là v₀. Tìm khoảng cách L từ điểm vật được ném lên đến điểm nó rơi lên mặt phẳng nghiêng.

HS: Em đã từng giải một bài toán như thế này rồi nhưng chịu không làm được.

GV: Em không nhìn thấy sự tương đồng nào giữa bài toán này và bài toán trước hay sao?

HS: Không, em chẳng thấy gì hết.

GV: Giờ ta hãy tưởng tượng hình vẽ cho bài toán này xoay một góc β để mặt phẳng nghiêng trở thành nằm ngang (Hình 26a). Khi đó trọng lực không còn thẳng đứng nữa. Giờ ta phân tích nó thành một thành phần thẳng đứng (Pcosβ) và một thành phần nằm ngang (Psinβ). Giờ thì ta có thể thấy mình đã có bài toán trước một lần nữa, trong đó lực Psinβ giữ vai trò của lực của gió, và Pcosβ giữ vai trò trọng lực. Do đó, ta có thể tìm kết quả bằng cách sử dụng phương trình (18) biết rằng chúng ta có những thay thế sau

Psinβ cho F, Pcosβ cho P, và gcosβ cho g.

Khi đó, ta được

Cái còn lại là biểu diễn các hệ số a và b theo v₀, α và β. Vì mục đích này, ta xét hai điểm của parabol – B và C (xem Hình 26b). Ta viết phương trình parabol cho từng điểm này

y_2C = ax_c² + bx_C

y_2B = ax_B² + bx_B

Tọa độ của các điểm C và B là đã biết. Như vậy, hệ phương trình trên cho phép chúng ta xác định các hệ số a và b. Tôi đề nghị lúc rảnh em hãy giải cho xong nghiệm của hệ phương trình này và thu về kết quả ở dạng phương trình (19).

HS: Em thích cách giải thứ nhất hơn.

GV: Đó là vấn đề khẩu vị thôi. Hai phương pháp giải về bản chất là khác nhau. Cách thứ nhất có thể gọi là phương pháp “vật lí”. Nó sử dụng sự tương tự với bài toán cơ bản (chúng ta đổi góc nhìn của mình đi một chút và suy giản bài toán thành bài toán cũ có lực của gió). Phương pháp thứ hai có thể gọi là phương pháp “toán học”. Ở đây chúng ta sử dụng hai hàm số và đi tìm tọa độ giao điểm của chúng. Theo quan điểm của tôi, phương pháp thứ nhất thì đẹp hơn, nhưng kém tổng quát hơn. Lĩnh vực áp dụng phương pháp thứ hai về cơ bản là rộng hơn. Chẳng hạn, có thể áp dụng nó trên nguyên lí khi hình cắt của ngọn đồi mà nó được ném lên không phải là đường thẳng. Ở đây, thay cho hàm tuyến tính y₁, một hàm nào đó khác sẽ được sử dụng để khớp với hình cắt của ngọn đồi. Phương pháp thứ nhất không thể áp dụng trên nguyên tắc trong những trường hợp như vậy. Ta có thể lưu ý rằng lĩnh vực áp dụng rộng hơn của phương pháp thứ hai là do bản chất trừu tượng hơn của chúng.

Bài tập

1. Vật A được ném lên thẳng đứng với vận tốc 20 m/s. Hỏi vật B phải ở độ cao nào thì khi được ném với một vận tốc nằm ngang 4 m/s cùng lúc với vật A, va chạm với nó trong chuyển động bay của nó? Khoảng cách tính theo phương ngang giữa hai điểm ném ban đầu là 4 m. Đồng thời hãy tìm thời gian bay của một vật trước khi va chạm và vận tốc của mỗi vật tại thời điểm va chạm.

2. Từ các điểm A và B, ở độ cao tương ứng 2 m và 6 m, hai vật được ném đồng thời về phía nhau: một vật được ném ngang với vận tốc 8 m/s và vật kia được ném chếch xuống 45^o so với phương ngang và có vận tốc ban đầu sao cho hai vật va chạm trong khi bay. Khoảng cách tính theo phương ngang giữa A và B bằng 8 m. Tìm vận tốc ban đầu v₀ của vật được ném nghiêng góc 45^o, tọa độ x và y của điểm va chạm, thời gian bay t của mỗi vật trước khi va chạm và vận tốc v_A và v_B của hai vật tại thời điểm va chạm. Biết quỹ đạo của hai vật nằm trong cùng một mặt phẳng.

3. Hai vật được ném lên từ một điểm xiên góc α₁ và α₂ so với phương ngang và có vận tốc ban đầu tương ứng v₁ và v₂. Hỏi hai vật sẽ cách nhau bao xa sau thời gian t? Xét hai trường hợp: (1) quỹ đạo của hai vật nằm trong cùng một mặt phẳng và hai vật được ném theo hai hướng ngược nhau, và (2) hai quỹ đạo nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

4. Một vật rơi từ độ cao H với vận tốc ban đầu bằng không. Ở độ cao h, nó bật đàn hồi trên một mặt phẳng nghiêng góc 30^o so với phương ngang. Tìm thời gian vật rơi tới đất.

5. Một vật trọng lượng P được ném lên xiên một góc bao nhiêu so với phương ngang thì tầm bay cao của nó bằng tầm bay xa? Giả sử có một lực F không đổi nằm ngang của gió tác dụng lên vật trong chuyển động bay của nó.

6. Một viên đá được ném lên vuông góc với một mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng a. Nếu vận tốc ban đầu là v₀ thì khoảng cách từ điểm ném lên đến điểm nó rơi xuống bằng bao nhiêu?

7. Một đứa trẻ cao 1,5 m đang đứng cách 15 m với một hàng rào cao 5 m, ném lên một viên đá nghiêng góc 45^o với phương ngang. Hỏi viên đá được ném với tốc độ tối thiểu bằng bao nhiêu thì nó bay qua hàng rào đó?

Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông
L. Tarasov và A. Tarasova
Trần Nghiêm dịch
Phần tiếp theo >>