Các nhà toán học vừa tìm ra một bài toán mà họ không thể giải được. Chẳng phải vì họ không đủ thông minh; đơn giản bởi vì chẳng có đáp số.
Bài toán liên quan đến học máy – kiểu mô hình trí tuệ nhân tạo mà một số máy tính dùng để “học” cách làm một nhiệm vụ nào đó.
Khi Google hay Facebook nhận ra một ảnh chụp của bạn và đề nghị bạn tự gắn thẻ cho mình, nó đang sử dụng học máy. Khi một ô tô tự lái tìm đường qua một giao lộ tấp nập, đó là học máy đang hoạt động. Các nhà khoa học thần kinh sử dụng học máy để “đọc” suy nghĩ của ai đó. Cái cốt yếu ở học máy là nó dựa trên toán học. Do vậy, các nhà toán học có thể nghiên cứu nó và tìm hiểu nó trên cấp độ lí thuyết. Họ có thể viết ra các phép chứng minh cách học máy hoạt động là tuyệt đối và áp dụng chúng trong mỗi trường hợp.
Trong trường hợp này, một đội gồm các nhà toán học đã thiết kế ra một bài toán học máy gọi là “ước tính cực trị” hay “EMX” (estimating the maximum).
Để hiểu cách EMX hoạt động, hãy hình dung như sau: Bạn muốn đặt quảng cáo trên một trang web và tối đa hóa số lượng người xem mà những quảng cáo này sẽ tiếp cận. Bạn có những quảng cáo đủ loại dành cho dân đam mê thể thao, người yêu mèo, dân chơi xe hơi, và vân vân. Nhưng bạn không biết trước ai sẽ ghé thăm trang web. Làm thế nào bạn chọn ra một bộ quảng cáo sẽ tăng tối đa số lượng người xem mà bạn hướng đến? EMX phải tìm ra đáp số với chỉ một lượng nhỏ dữ liệu về những người ghé thăm trang.
Rồi các nhà nghiên cứu đặt ra một câu hỏi: Khi nào EMX có thể giải được một bài toán?
Ở những bài toán học máy khác, các nhà toán học thường có thể nói nếu bài toán học đó có thể giải được trong trường hợp đã cho dựa trên tập hợp dữ liệu mà họ có. Liệu phương pháp nền tảng mà Google dùng để nhận diện khuôn mặt của bạn có thể áp dụng để dự báo các khuynh hướng thị trường chứng khoán hay không? Tôi không biết, nhưng biết đâu ai đó có thể biết.
Vấn đề là, toán học đã rơi vào suy sụp. Nó đã suy sụp kể từ năm 1931, khi nhà lôgic học Kurt Gödel công bố các định lí bất toàn nổi tiếng của ông. Chúng chỉ ra rằng trong bất kì hệ toán học nào, luôn có những câu hỏi nhất định không thể nào trả lời được. Chúng không thật sự khó – chúng thuộc loại chẳng biết được. Các nhà toán học nhận ra rằng năng lực tìm hiểu vũ trụ của họ về cơ bản đã bị hạn chế. Gödel và một nhà toán học khác tên là Paul Cohen tìm thấy một ví dụ: giả thiết continuum.
Nhà khoa học gốc Áo Kurl Godel. Ảnh chụp tại Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton.
Giả thiết continuum lập luận như sau: Các nhà toán học đã biết có những vô hạn có kích cỡ khác nhau. Chẳng hạn, có vô hạn số nguyên (các số như 1, 2, 3, 4, và vân vân); và có vô hạn số thực (bao gồm các số như 1, 2, 3 và vân vân, song còn bao gồm các số như 1,8 và 5.222,7 và pi). Thế nhưng mặc dù có vô hạn số nguyên và vô hạn số thực, song rõ ràng số lượng số thực có nhiều hơn số nguyên. Thế thì phát sinh câu hỏi, liệu có bất kì vô hạn nào lớn hơn tập số nguyên nhưng nhỏ hơn tập số thực không? Giả thiết continuum nói rằng không, không có.
Gödel và Cohen chỉ ra rằng người ta không thể chứng minh được giả thiết continuum là đúng, đồng thời chẳng chứng minh được nó là sai. “Giả thiết continuum có đúng không?” là một câu hỏi không có câu trả lời.
Trong một bài báo công bố hôm Thứ Hai, 7 tháng Giêng 2019, trên tạp chí Nature Machine Intelligence, các nhà nghiên cứu chỉ ra rằng EMX có liên hệ mật thiết với giả thiết continuum.
Hóa ra EMX có thể giải được một bài toán chỉ khi nào giả thiết continuum là đúng. Song nếu nó không đúng, thì EMX không thể giải được. Điều đó có nghĩa là câu hỏi, “EMX có thể học cách giải bài toán này không?” có đáp số là không thể biết được y hệt như chính giả thiết continuum.
Tin tốt lành là lời giải cho giả thiết continuum chẳng quan trọng lắm đối với phần lớn toán học. Và, tương tự như vậy, bí ẩn vĩnh viễn này không thể gây ra bất kì chướng ngại nào cho học máy.
“Vì EMX là một mô hình mới trong học máy, nên chúng ta chưa biết được ích lợi của nó đối với việc phát triển các thuật toán thế giới thực,” giáo sư toán học Lev Reyzin tại Đại học Illinois ở Chicago viết trong một bài bình luận trên tạp chí Nature News & Views. “Bởi thế, các kết quả này hóa ra có thể có tầm quan trọng thực tiễn,” Reyzin viết.
Chạy đua với một bài toán không thể giải được, Reyzin viết, là công việc thuộc loại ví như cái lông chim gắn trên mũ của các nhà nghiên cứu học máy.
Nó là bằng chứng rằng học máy đã “trưởng thành với vai trò là một ngành toán học,” Reyzin viết.
Học máy nay tham gia vào nhiều lĩnh vực con của toán học, xử lí những khó khăn đi cùng với nó. Có lẽ những kết quả như thế này sẽ mang đến cho lĩnh vực học máy một chút khiêm nhường cần thiết, dẫu rằng các thuật toán học máy vẫn tiếp tục cách mạng hóa thế giới xung quanh chúng ta.
Nguồn: Live Science
