James Clerk Maxwell - người hoàn chỉnh lý thuyết điện từ trường

James Clerk Maxwell (13 tháng 6 năm 1831 tại Edinburgh, Scotland – 5 tháng 11 năm 1879) là một nhà toán học, một nhà vật lý học người Scot. Ông đã đưa ra hệ phương trình miêu tả những định luật cơ bản về điện trường và từ trường được biết đến với tên gọi phương trình Maxwell. Đây là hệ phương trình chứng minh rằng điện trường và từ trường là thành phần một trường thống nhất, điện từ trường. Ông cũng đã chứng minh rằng trường điện từ có thể truyền đi trong không gian dưới dạng sóng với tốc độ không đổi là 300 000 km/s, và đưa ra giả thuyết rằng ánh sáng là sóng điện từ.

Có thể nói Maxwell là nhà vật lý học thế kỉ 19 có ảnh hưởng nhất tới nền vật lý của thế kỉ 20, người đã đóng góp vào công cuộc xây dựng mô hình toán học mới của nền khoa học hiện đại. Vào năm 1931, nhân kỉ niệm 100 ngày sinh của Maxwell, Albert Einstein đã ví công trình của Maxwell là "sâu sắc nhất và hiệu quả nhất mà vật lý học có được từ thời của Isaac Newton".

db_clerk_maxwell_standing_23

Tuổi trẻ

Ngay từ khi 15 tuổi, cậu đã tự nghĩ ra được phương pháp vẽ những hình elip rất chuẩn mà vào thời điểm đó chính các nhà khoa học của Hội hoàng gia Anh còn đang mải tìm cách vẽ.

Năm 18 tuổi, Maxwell đã công bố một tác phẩm nghiên cứu lý thuyết cân bằng của các vật đàn hồi, chứng minh một định luật rất quan trọng trong lý thuyết đàn hồi và cơ học xây dựng. Về sau được gọi là Maxwell.

Công trình tiếp theo của Maxwell thuộc các lĩnh vực nhiệt, thiên văn, vật lý thống kê v.v. Chỉ bấy nhiêu công trình cũng đủ làm cho tên tuổi của Maxwell được mọi người kính nể. Trong sự nghiệp khoa học của ông gắn bó nhiều nhất với lý thuyết trường điện từ mà ông đã xây dựng, mang tên là điện động lực học Maxwell. Eisntein đã so sánh tên tuổi của Galilée và Newton trong cơ học với tên tuổi của Faraday và Maxwell điện học:

Trong cơ học Galilée là người đã đặt những cơ sở đầu tiên của cơ học và Newton là người đã hoàn chỉnh nó.

Trong điện học Faraday là người đã có một quan niệm mới về điện và từ, đã nêu lên vai trò của môi trường, gợi ra khái niệm trường và mô tả nó bằng những đường sức. Còn Maxwell là người đã hoàn chỉnh tư tưởng của Faraday về mặt toán học, đã đưa ra thuật ngữ "trường điện từ" và xây dựng những quy luật toán học của trường đó.

Nghiên cứu chuyên sâu về điện học - Lý thuyết trường điện từ

Những nghiên cứu của Maxwell trong lĩnh vực điện động lực học có thể được tóm tắt như sau:

Từ năm 1854 đến năm 1857, sau khi đọc kỹ công trình "Những khảo sát thực nghiệm trong lĩnh vực điện học" của Faraday, Mawell đã tìm thấy trong đó những ý tưởng sâu sắc. Ông hiểu rằng, muốn cho những tư tưởng đó thắng lợi phải xây dựng cho chúng một ngôn ngữ toán học chính xác. Do đó trong 3 năm trên, ông đã hoàn thành công trình "Về những đường sức của Faraday", trong đó ông xây dựng ngôn ngữ toán học chính xác cho lý thuyết điện từ của Faraday bằng các định luật toán học. Ông đã gửi công trình này tới Faraday, khiến Faraday rất cảm động và đánh giá đó chính là sự ủng hộ lớn lao của Maxwell đối với mình.

Từ 1861 đến 1862, Maxwell tiếp tục phát triển lý thuyết của mình về trường điện từ và ông đã công bố một loạt bài báo dưới tiêu đề chung "Về các đường sức vật lý". Trong công trình này, Maxwell đã xây dựng mô hình phức tạp hơn cho trường điện từ và đi đến hệ phương trình nổi tiếng, mang tên là hệ phương trình Maxwell, trong đó thể hiện chính xác mối quan hệ giữa sự biến đổi từ trường và suất điện động do nó gây ra. Ông cũng đã đưa vào điện học một khái niệm rất quan trọng là khái niệm dòng điện dịch: tuy không phải là dòng điện thực sự, nhưng nó cũng tạo ra từ trường như dòng điện dẫn. Maxwell cho rằng trường điện từ cũng mang năng lượng và ông đã tính được mật độ năng lượng tại từng điểm. Ông cũng tìm ra rằng, trong môi trường đàn hồi của trường điện từ, có những sóng ngang truyền đi với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng. Do đó, theo ông khó mà không kết luận rằng ánh sáng cũng là một dao động gang của cùng một môi trường sinh ra các hiện tượng điện từ.

Từ 1864 đến 1865, ông công bố công trình "Lý thuyết động lực học của trường điện từ". Trong công trình này ông đã nêu rõ: "Lý thuyết mà tôi đề nghị có thể được gọi là lý thuyết trường điện từ, vì rằng nó nghiên cứu không gian bao quanh các vật điện và từ. Nó cũng có thể được gọi là lý thuyết động lực học vì nó thừa nhận rằng trong không gian đó có vật chất đang chuyển động, nhờ nó mà diễn ra các hiện tượng điện từ quan sát được."Trong tác phẩm này, khái niệm "trường điện từ" đã được ông định nghĩa một cách cụ thể. Ông cho rằng: "Trường điện từ là một bộ phận của không gian chứa đựng và bao bọc các vật ở trạng thái điện hoặc trạng thái từ." Cũng công trình này, Maxwell đã khẳng định rằng trường điện từ là có thật và mang năng lượng. Như vậy, lần đầu tiên trong lịch sự vật lý học, khái niệm "trường" đã được Maxwell xây dựng một cách trọn vẹn.

Năm 1873, ông công bố "Giáo trình điện học và từ học". Đó là một giáo trình rất cơ bản, trong đó ông tổng kết và hệ thống toàn bộ lý thuyết của mình, thể hiện rõ hai luận điểm cơ bản:

Luận điểm thứ nhất: Tại một điểm bất kỳ trong vùng không gian, nếu có từ trường biến thiên theo thời gian thì vùng không gian đó sẽ xuất hiện điện trường xoáy.

Luận điểm thứ hai: Bất kỳ một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng sinh ra một từ trường xoáy.

Như vậy lý thuyết của Maxwell cho ta thấy rằng tại điểm trong không gian, có từ trường biến thiên theo thời gian thì vùng khôn gian đó sẽ xuất hiện điện trường xoáy và ngược lại. Cứ như vậy, điện từ trường luôn tồn tại đồng thời, chuyển hóa lẫn nhau và lan truyền trong không gian dưới dạng sóng, gọi là sóng điện từ. Trong công trình này, Maxwell đã so sánh hai phương hướng trong lý thuyết và các hiện tượng điện và từ: phương hướng dựa trên nguyên lý tác dụng xa của Newton và phương hướng dựa trên nguyên lý tác dụng gần, tức là phương pháp của Faraday. Ông tự nhận mình là luật sư biện hộ cho phương pháp Faraday, theo quan điểm thuyết tác dụng gần và lấy khái niệm trường làm cơ sở. Cũng trong công trình này, ông đã trình bày tỉ mỉ hơn lý thuyết điện từ về ánh sáng. Ông đã rút ra kết luận rằng ánh sáng là một loại sóng điện từ , do sự kết hợp của vector điện trường và vector từ trường vuông góc với nhau, biến thiên hình sin theo thời gian.

Chính kết luận này đã góp phần vào sự thắng lợi của lý thuyết sóng ánh sáng ở thế kỷ XIX. Ông còn chỉ ra rằng ánh sáng sẽ gây ra áp suất trên bề mặt các vật thể khi nó truyền qua. Ông lưu ý rằng, có thể kiểm tra kết luận đó bằng thực nghiệm.

Lý thuyết trường điện từ Maxwell đã đi trước khá xa so với thực nghiệm lúc bấy giờ. Vì vậy sau khi nó ra đời, phải đợi một phần tư thế kỷ nữa nó mới được thực nghiệm khẳng định một cách trọn vẹn.

>> Xem thêm: Luận văn về Điện và Từ của Maxwell (Tập 1)/ Luận văn về Điện và Từ của Maxwell (Tập 2)

Phương trình Maxwell

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt :

Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss).
Sự không tồn tại của vật chất từ tích.
Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere).
Và từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật cảm ứng Faraday)

Đây cũng chính là nội dung của thuyết điện từ học Maxwell.

Các công thức của Maxwell vào năm 1865 bao gồm 20 phương trình với 20 ẩn số, nhiều phương trình trong đó được coi là nguồn gốc của hệ phương trình Maxwell ngày nay. Các phương trình của Maxwell đã tổng quát hóa các định luật thực nghiệm được những người đi trước phát hiện ra: chỉnh sửa định luật Ampère (ba phương trình cho ba chiều (x, y, z)), định luật Gauss cho điện tích (một phương trình), mối quan hệ giữa dòng điện tổng và dòng điện dịch (ba phương trình (x, y, z)), mối quan hệ giữa từ trường và thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), chỉ ra sự không tồn tại của từ tích), mối quan hệ giữa điện trường và thế năng vô hướng cũng như thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), định luật Faraday), mối quan hệ giữa điện trường và trường dịch chuyển (ba phương trình (x, y, z)), định luật Ohm về mật độ dòng điện và điện trường (ba phương trình (x, y, z)), và phương trình cho tính liên tục (một phương trình). Các phương trình nguyên bản của Maxwell được viết lại bởi Oliver Heaviside và Willard Gibbs vào năm 1884 dưới dạng các phương trình vectơ. Sự thay đổi này diễn tả được tính đối xứng của các trường trong cách biểu diễn toán học. Những công thức có tính đối xứng này là nguồn gốc hai bước nhảy lớn trong vật lý hiện đại đó là thuyết tương đối hẹp và vật lý lượng tử.

Thật vậy, các phương trình của Maxwell cho phép đoán trước được sự tồn tại của sóng điện từ, có nghĩa là khi có sự thay đổi của một trong các yếu tố như cường độ dòng điện, mật độ điện tích... sẽ sinh ra sóng điện từ truyền đi được trong không gian. Vận tốc của sóng điện từ là c, được tính bởi phương trình Maxwell, bằng với vận tốc ánh sáng được đo trước đó bằng thực nghiệm. Điều này cho phép kết luận rằng ánh sáng là sóng điện từ. Các nghiên cứu về ánh sáng và sóng điện từ, tiêu biểu là các nghiên cứu của Max Planck về vật đen và của Heinrich Hertz về hiện tượng quang điện đã cho ra đời lý thuyết lượng tử.

Sự không phụ thuộc của vận tốc ánh sáng vào chiều và hệ quy chiếu - những kết luận được rút ra từ phương trình Maxwell - là nền tảng của thuyết tương đối. Chú ý rằng khi ta thay đổi hệ quy chiếu, những biến đổi Galileo cổ điển không áp dụng được vào các phương trình Maxwell mà phải sử dụng một biến đổi mới, đó là biến đổi Lorentz. Einstein đã áp dụng biến đổi Lorentz vào cơ học cổ điển và cho ra đời thuyết tương đối hẹp.

Bảng sau đây tóm tắt các phương trình và khái niệm cho trường hợp tổng quát. Kí hiệu bằng chữ đậm là vectơ, trong khi đó những kí hiệu in nghiêng là vô hướng.

Tên	Dạng phương trình vi phân	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$	$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt } \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}$

Bảng sau đây liệt kê khái niệm của các đại lượng trong hệ đo lường SI:

Kí hiệu	Ý nghĩa	Đơn vị trong hệ SI
$\mathbf{E}$	Cường độ điện trường	volt / mét
$\mathbf{H}$	Cường độ từ trường	ampere / mét
$\mathbf{D}$	Độ điện thẩm	coulomb / mét vuông
$\mathbf{B}$	Vectơ cảm ứng từ	tesla, weber / mét vuông
$\ \rho \$	Mật độ điện tích,	coulomb / mét khối
$\mathbf{J}$	Mật độ dòng điện,	ampere / mét vuông
$d\mathbf{A}$	Vectơ vi phân diện tích A, có hướng vuông góc với mặt S	mét vuông
$dV \$	Vi phân của thể tích V được bao bọc bởi diện tích S	mét khối
$d \mathbf{l}$	Vectơ vi phân của đường cong, tiếp tuyến với đường kính C bao quanh diện tích S	mét
$\nabla \cdot$ (còn gọi là div)	toán tử tính suất tiêu tán: $\nabla\cdot\textbf{a}=\left(\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial y}\right)$	trên mét
$\nabla \times$ (còn gọi là rot)	toán tử tính độ xoáy cuộn của trường vectơ.	trên mét

Các đại lượng D và B liên hệ với E và H bởi :

$\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ = \ \ \varepsilon \mathbf{E}$

$\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ = \ \ \mu \mathbf{H}$

trong đó :

Χ_e là hệ số cảm ứng điện của môi trường,

χ_m là hệ số cảm ứng từ của môi trường,

ε là hằng số điện môi của môi trường, và

μ là hằng số từ môi của môi trường.

Khi hai hằng số ε and μ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường, ta có hiện tượng phi tuyến; xem thêm trong các bài hiệu ứng Kerr và hiệu ứng Pockels.)

Trong môi trường tuyến tính

Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện P (coulomb / mét vuông) và vectơ phân cực từ M (ampere / mét) cho bởi :

$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$

$\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}$

Trong môi trường không tán sắc (các hằng số không phụ thuộc vào tần số của sóng điện từ), và đẳng hướng (không biến đổi đối với phép quay), ε và μ không phụ thuộc vào thời gian, phương trình Maxwell trở thành :

$\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho$

$\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

Trong môi trường đồng đều (không biến đổi đối với phép tịnh tiến), ε và μ không đổi theo không gian, và có thể được đưa ra ngoài các phép đạo hàm theo không gian.

Trong trường hợp tổng quát, ε và μ có thể là tensor hạng 2 mô tả môi trường lưỡng chiết. Và trong các môi trường tán sắc ε và/hoặc μ phụ thuộc vào tần số ánh sáng (sóng điện từ), những sự phụ thuộc này tuân theo mối liên hệ Kramers-Kronig.

Trong chân không

Chân không là môi trường tuyến tính, đồng đẳng (không biến đổi theo phép quay và phép tịnh tiến), không tán sắc, với các hằng số ε₀ và μ₀ (hiện tượng phi tuyến trong chân không vẫn tồn tại nhưng chỉ quan sát được khi cường độ ánh sáng vượt qua một ngưỡng rất lớn so với giới hạn tuyến tính trong môi trường vật chất).

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$

$\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}$

Đồng thời trong chân không không tồn tại điện tích cũng như dòng điện, phương trình Maxwell trở thành :

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$

$\nabla \cdot \mathbf{H} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = - \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

Những phương trình này có nghiệm đơn giản là các hàm sin và cos mô tả sự truyền sóng điện từ trong chân không, vận tốc truyền sóng là :

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

Kí hiệu	Tên	Giá trị	Đơn vị trong hệ SI
$c \$	Vận tốc ánh sáng	$2.998 \times 10^{8}$	mét trên giây
$\ \varepsilon_0$	Độ điện thẩm chân không	$8.854 \times 10^{-12}$	fara / mét
$\ \mu_0 \$	Độ từ thẩm chân không	$4 \pi \times 10^{-7}$	henry / mét