Fermat và định lý cuối cùng của Fermat

Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ông mất lúc 63 tuổi, vào năm 1665. Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại.

Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say mê toán học với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyển sách.

Ông vừa là một luật sư, vừa là một nhà toán học đã đóng góp nhiều vào sự phát triển bước đầu của toán học. Đặc biệt, ông được nhớ đến qua sự khám phá một phương pháp đầu tiên để tìm cực đại và cực tiểu của tung độ của đường cong. Ông cũng nghiên cứu về lý thuyết số và có nhiều đóng góp trong các lảnh vực hình học giải tích, xác suất và quang học.

Người ta biết đến Fermat không phải là một nhà toán học mà là một luật sư.

Định lý cuối cùng của Fermat được nghĩ ra năm 1637 khi Fermat nghiên cứu quyển sách toán cổ Hy lạp Arithmetica, viết bởi Diophantus vào khoảng năm 250 AD. Trang sách đã gợi ý cho Fermat bàn về các tính chất quanh định lý Pythagore, có đại ý là:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng số bình phương của hai cạnh góc vuông.

Bài toán II.8 trong Arithmetica của Diophantus, với chú giải của Fermat và sau đó trở thành định lý Fermat cuối cùng (ấn bản 1670)

Nói khác đi, phương trình x²+y²=z² có vô số lời giải và từ đó sẽ tìm được bộ 3 số Pythagore.

Từ định lý Pythagore, Fermat đã tìm xem có 3 số nguyên x, y, z nào thỏa cho một phương trình như phương trình của Pythagore nhưng ở bậc cao hơn hay không xⁿ+yⁿ=zⁿ Nhưng đều thất bại. Theo Fermat thì phương trình này với 3 ẩn số nguyên x, y, z và n > 2 không thể giải được.

Ông đã viết điều này bên lề quyển Arithmetica đại khái như sau:

Không thể nào tách một số lập phương thành tổng số của hai số lập phương khác, hay một số tứ phương thành tổng số của hai số tứ phương khác.

Một cách tổng quát:

Không thể tách rời bất kỳ lũy thừa bậc lớn hơn hai nào của một số nguyên thành hai lũy thừa cùng bậc của hai số nguyên khác.

và ông còn viết thêm:

Tôi đã tìm được một chứng minh tuyệt vời cho mệnh đề này nhưng lề của quyền sách này không đủ chỗ để viết.

Định lý này của Fermat đã gây cảm hứng cho nhiều thế hệ tiếp theo, không những cho các nhà toán học mà còn cho cả những người hiếu kỳ muốn thử tài mình. Người thì tìm cách chứng minh định lý đó đúng, người thì tìm cách chứng minh định lý đó sai. Các trường hợp n = 3 và 5 đã được Euler, Dirichlet và Legendre chứng minh năm 1825 và phải đến 15 năm sau, trường hợp n = 7 mới được Gabriel Lamé chứng minh.

Một điều không may là các chứng minh đó tương đối dài và khó mà suy rộng đến trường hợp tổng quát. Mặc dầu được gọi là định lý nhưng mệnh đề mà Fermat nêu lên chưa được chứng minh đúng một cách tổng quát.

Sở dĩ định lý này được gọi là "Định lý cuối cùng của Fermat" vì tất cả những mệnh đề toán học mà Fermat nêu lên đều đã được chứng minh, trừ mệnh đề này!

Năm 1823 và 1850, Hàn lâm viện Khoa học Pháp treo hai giải thưởng cho một lời giải đúng của định lý. Một giải thưởng thứ ba do Hàn lâm viện Brussels đề nghị năm 1883 và năm 1908, nhà toán học tài tử Paul Friedrich Wolfskehl tặng 100,000 Mác cho Hàn lâm viện Khoa học Göttingen để làm giải thưởng.

Sau đó thì cả ngàn lời giải đã được gởi đến các Hàn lâm viện trong khoảng thời gian từ 1908 đến 1911, nhưng tất cả đều sai!

Theo thời gian, có rất nhiều công trình đã được thực hiện để cố chứng minh định lý sau cùng của Fermat, nhưng tất cả những chứng minh nầy đều được khám phá là sai. Càng cố gắng bao nhiêu, các nhà toán học càng thất vọng bấy nhiêu và một chứng minh được chấp nhận càng xa vời.

Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý này là đúng với mọi số nguyên tố tới 100 (trừ 3 Số nguyên tố phi chính quy là 37, 59, 67).

Cuối cùng nó được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển chứng minh các giả thiết có liên quan. Mãi đến tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học công nhận chứng minh là đúng. (Xem thêm hành trình chứng minh định lý lớn Fermat từ Wikipedia)

Helen G. Grundman, giáo sư toán trường Bryn Mawr College, đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau:

"Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh Định lý lớn Fermat đó. Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi. Thật ra chứng minh đó là công trình của nhiều người. Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông đã nghĩ là một cách chứng minh. Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng Định lý lớn Fermat."

"Chứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa đuợc biết tới vào thời Fermat. Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán. Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó. Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh Định lý lớn Fermat mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat. Chúng ta không có cách nào trả lời trừ phi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy." (Wikipedia).

Hôm nay, nhân kỉ niệm 410 năm ngày sinh Fermat, chúng ta cùng nhìn lại!