Chuyển động điều hòa đơn giản

Mục tiêu:

• Mô tả một dao động tử điều hòa đơn giản
• Giải thích mối liên hệ giữa chuyển động điều hòa đơn giản và sóng

Các dao động của một hệ trong đó hợp lực có thể mô tả bằng định luật Hooke có tầm quan trọng đặc biệt, vì chúng rất phổ biến. Chúng còn là những hệ dao động đơn giản nhất. Chuyển động điều hòa đơn giản là tên đặt cho sự chuyển động dao động trong một hệ trong đó hợp lực có thể mô tả bằng định luật Hooke, và một hệ như vậy được gọi là một dao động tử điều hòa đơn giản. Nếu hợp lực có thể mô tả bằng định luật Hooke và không có sự tắt dần (do ma sát hoặc do những lực không bảo toàn khác), thì một dao động tử điều hòa đơn giản sẽ dao động với li độ bằng nhau ở cả hai bên của vị trí cân bằng, như trường hợp một vật gắn với lò xo ở Hình 1. Li độ lớn nhất tính từ vị trí cân bằng được gọi là biên độ X. Đơn vị cho biên độ và li độ là giống nhau, nhưng tùy thuộc vào loại dao động. Đối với vật gắn với lò xo, đơn vị của biên độ và li độ là mét; còn với các dao động âm, chúng có đơn vị của áp suất (và những loại dao động khác thì có những đơn vị khác nữa). Vì biên độ là li độ cực đại, nên nó có liên hệ với năng lượng trong dao động.

THÍ NGHIỆM TẠI NHÀ: HÒN BI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Tìm một cái bát hoặc cái chão có hình bán cầu ở bên trong. Đặt một viên bi bên trong cái bát và nghiêng cái bát tuần tự tới lui để cho viên bi lăn từ đáy bát lên những điểm cao bằng nhau ở hai bên thành bát. Hãy cảm nhận lực cần thiết để duy trì chuyển động tuần hoàn này. Lực hồi phục là lực gì và lực mà bạn tác dụng có vai trò gì trong sự chuyển động điều hòa đơn giản của viên bi?

Hình 1: Một vật gắn với lò xo trượt trên một bề mặt không ma sát là một dao động tử điều hòa đơn giản. Khi lệch khỏi vị trí cân bằng, vật thực hiện chuyển động điều hòa đơn giản có biên độ X và chu kì T. Tốc độ tối đa của vật xảy ra khi nó đi qua vị trí cân bằng. Lò xo càng cứng thì chu kì T càng nhỏ. Khối lượng của vật càng lớn thì chu kì T càng lớn.

Chuyển động điều hòa đơn giản có ý nghĩa gì? Một điều đặc biệt là chu kì T và tần số f của một dao động tử điều hòa đơn giản độc lập với biên độ. Sợi dây đàn ghita, chẳng hạn, sẽ dao động với tần số như nhau cho dù có gảy mạnh hay nhẹ. Vì chu kì là không đổi, nên một dao động tử điều hòa có thể dùng làm đồng hồ.

Hai yếu tố quan trọng thật sự ảnh hưởng đến chu kì của một dao động tử điều hòa đơn giản. Chu kì liên hệ với độ cứng của hệ. Một vật rất cứng có hệ số lực k lớn, làm cho hệ có chu kì T nhỏ hơn. Ví dụ, bạn có thể chỉnh độ căng của dây đàn – nó càng căng, thì nó dao động càng nhanh, và chu kì của nó càng ngắn. Chu kì còn phụ thuộc vào khối lượng của hệ đang dao động. Hệ có khối lượng càng lớn thì chu kì càng lớn. Ví dụ, một người nặng kí đứng trên miếng ván nhảy ở hồ bơi thì bị bật lên bật xuống chậm hơn một người nhẹ kí.

Thật vậy, khối lượng m và hệ số lực k là những yếu tố duy nhất ảnh hưởng đến chu kì và tần số của chuyển động điều hòa đơn giản.

CHU KÌ CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ĐƠN GIẢN

Chu kì của một dao động tử điều hòa đơn giản được cho bởi

Lưu ý cả f và T đều không phụ thuộc vào biên độ.

THÍ NGHIỆM TẠI NHÀ: DAO ĐỘNG CỦA VẬT NẶNG VÀ CÁI THƯỚC

Tìm hai cái thước nhựa hoặc thước gỗ giống hệt nhau. Dán thật chặt một đầu của mỗi cái thước vài cạnh bàn sao cho chiều dài của mỗi cái thước thò ra từ cái bàn là bằng nhau. Ở đầu tự do của mỗi cái thước dán một vật nặng ví dụ như một vài đồng tiền cỡ lớn. Đẩy nhẹ đầu dưới của hai cái thước đồng thời và quan sát cái thước nào thực hiện nhiều chu trình hơn trong một khoảng thời gian nhất định, và hãy đo chu kì dao động của mỗi cái thước.

Ví dụ 1: Tính tần số và chu kì dao động: Bộ giảm xóc trên xe hơi

Nếu bộ giảm xóc trên xe hơi không còn tốt, thì xe sẽ dao động ngay cả với kích thích nhẹ nhất, ví dụ như khi chạy lên những cái gờ giảm tốc trên đường hoặc sau khi dừng lại (xem Hình 2). Hãy tính tần số và chu kì của những dao động này cho một xe hơi như vậy nếu khối lượng của xe (tính luôn tải trọng của nó) là 900 kg và hệ số lực (k) của hệ giảm xóc là 6,53×10⁴ N/m.

Phân tích

Nhận xét

Giá trị của T và f đều có vẻ thích hợp cho xe rung rinh. Bạn có thể quan sát những đao dộng này nếu bạn đẩy mạnh lên một đầu xe và buông ra.

Liên hệ giữa chuyển động điều hòa đơn giản và sóng

Nếu chụp ảnh theo thời gian của chiếc xe đang rung khi nó đang chạy trên đường, thì đèn trước sẽ vạch nên một đường dạng sóng, như thể hiện trong Hình 2. Tương tự, Hình 3 thể hiện một vật đang rung trên một lò xo để lại vết dạng sóng của vị trí của nó trên băng giấy đang chuyển động. Cả hai sóng đều là hàm sin. Mọi chuyển động điều hòa đơn giản đều liên hệ mật thiết với sóng sin và cosin.

Hình 2. Chiếc xe đang rung tạo nên một chuyển động dạng sóng. Nếu lực hồi phục trong hệ giảm xóc có thể mô tả chỉ bằng định luật Hooke, thì sóng đó là một hàm sin. (Sóng đó là vết tạo ra bởi đèn trước khi xe chạy sang phải.)

Hình 3. Vị trí theo phương đứng của một vật đang rung trên một cái lò xo được ghi lại trên băng giấy đang chuyển động, để lại một sóng sin.

Li độ là một hàm của thời gian t trong mọi chuyển động điều hòa đơn giản – nghĩa là, một chuyển động trong đó hợp lực hồi phục có thể được mô tả bởi định luật Hooke, và được cho bởi

Vật có vận tốc bằng không tại li độ cực đại – ví dụ v = 0 khi t = 0, và lúc đó x = X. Dấu trừ trong phương trình đầu tiên cho v(t) cho ta chiều đúng cho vận tốc. Ngay sau khi bắt đầu chuyển động, chẳng hạn, vận tốc âm vì hệ đang chuyển động ngược về phía vị trí cân bằng. Sau cùng, ta có thể tìm một biểu thức cho gia tốc bằng định luật II Newton [Khi đó ta có x(t), v(t), và a(t), những đại lượng cần thiết cho động học và mô tả một chuyển động điều hòa đơn giản.] Theo định luật II Newton, gia tốc a = F/m = kx/m. Cho nên a(t) cũng là một hàm sin,

a(t) = - kX /m cos 2π/T            (8)

Vì thế, a(t) tỉ lệ thuận và ngược chiều với x(t).

Hình 4 trình bày chuyển động điều hòa đơn giản của một vật gắn với lò xo và biểu diễn các đồ thị của x(t), v(t), và a(t) theo thời gian.

Hình 4. Đồ thị x(t), v(t), và a(t) theo t cho chuyển động của một vật gắn với lò xo. Hợp lực tác dụng lên vật có thể mô tả bằng định luật Hooke, cho nên vật chuyển động điều hòa đơn giản. Lưu ý rằng vị trí ban đầu có li độ theo phương thẳng đứng tại giá trị cực đại X của nó; v là vận tốc ban đầu và sau đó nhận giá trị âm khi vật đi xuống; và gia tốc ban đầu là âm, hướng về vị trí cân bằng và bằng không tại điểm đó.

Điểm quan trọng nhất ở đây là những phương trình này đơn giản về mặt toán học và có giá trị cho mọi chuyển động điều hòa đơn giản. Chúng rất hữu ích trong việc hình dung sóng đi cùng với chuyển động điều hòa đơn giản, kể cả việc hình dung các sóng cộng gộp với nhau như thế nào.

Kiểm tra kiến thức

Giả sử bạn gảy nhẹ một sợi dây đàn banjo. Bạn nghe một nốt lúc đầu lớn sau đó khẽ dần theo thời gian. Hãy mô tả cái xảy ra với sóng âm theo chu kì, tần số và biên độ khi âm thanh giảm âm lượng.

Giải

Tần số và chu kì về cơ bản vẫn không đổi. Chỉ có biên độ giảm khi âm lượng giảm.

Kiểm tra kiến thức

Một người giữ trẻ đẩy một đứa trẻ trên đu quay. Tại điểm đu quay đi tới x, thì điểm tương ứng trên sóng của chuyển động này sẽ nằm ở đâu?

Giải

x là độ biến dạng tối đa, nó tương ứng với biên độ của sóng. Điểm trên sóng sẽ hoặc là tại đỉnh trên cùng hoặc tại hõm dưới cùng của đường cong sóng.

Tóm tắt

• Chuyển động điều hòa đơn giản là chuyển động dao động trong một hệ có thể mô tả chỉ bằng định luật Hooke. Một hệ như vậy còn được gọi là một dao động tử điều hòa đơn giản.
• Li độ cực đại là biên độ X. Chu kì T và tần số f của một dao động tử điều hòa đơn giản được cho bởi

Câu hỏi củng cố

1. Những điều kiện nào phải được thỏa mãn để tạo ra chuyển động điều hòa đơn giản?

2. (a) Nếu tần số không phải là hằng số với một dao động nào đó, thì dao động đó có thể là chuyển động điều hòa đơn giản hay không? (b) Bạn có thể nghĩ ra bất kì ví dụ nào của chuyển động điều hòa trong đó tần số có thể phụ thuộc vào biên độ hay không?

3. Nêu một ví dụ của một dao động tử điều hòa đơn giản, đặc biệt lưu ý tần số của nó độc lập với biên độ như thế nào.

4. Giải thích tại sao bạn muốn một vật cấu tạo từ một chất cứng dao động ở tần số cao hơn một vật giống như vậy cấu tạo từ một chất xốp.

5. Khi bạn đi ngang qua một xe tải chở hàng có toa moóc, bạn để ý thấy toa moóc của nó rung lên rung xuống chầm chậm. Khi toa moóc chở nhiều hàng hay khi nó gần rỗng không thì nó dễ rung hơn? Giải thích câu trả lời của bạn.

6. Một số người sửa cho xe gần mặt đất hơn nhiều so với khi xuất xưởng. Họ có nên lắp lò xo giảm xóc không? Giải thích câu trả lời của bạn.

Câu hỏi và bài tập

1. Một loại đồng hồ cuckoo báo giờ bằng một quả nặng bật trên một lò xo, thường thì xinh đẹp như một thiên thần ngồi trên ghế. Cần một hệ số lực bằng bao nhiêu để tạo ra chu kì 0,500 s cho một vật 0,0150 kg?

ĐS: 2,37 N/m

2. Nếu hệ số đàn hồi của một dao động tử điều hòa đơn giản tăng lên gấp đôi, thì khối lượng của hệ cần thay đổi bao nhiêu lần để giữ cho tần số của chuyển động không đổi?

3. Một vật nặng 0,500 kg treo dưới một lò xo dao động với chù kì 1,50 s. Phải thêm vào một khối lượng bằng bao nhiêu để thay đổi chu kì lên 2,00 s?

ĐS: 0,389 kg

4. Giả sử bạn gắn một vật khối lượng m với một lò xo treo thẳng đứng lúc đầu đứng yên và để nó rung lên xuống. Bạn thả nhẹ vật ra tại chiều dài nghỉ ban đầu của lò xo. (a) Chứng minh rằng lò xo tác dụng lên vật một lực hướng lên bằng 2,00 mg tại điểm thấp nhất của nó. (b) Nếu lò xo có hệ số lực 10,0 N/m và vật nặng khối lượng 0,25 kg được làm cho chuyển động như đã mô tả, hãy tìm biên độ của dao động. (c) Tìm vận tốc lớn nhất.

5. Một người nhảy nước đứng trên một tấm ván nhảy đang chịu một dao động điều hòa đơn giản. Khối lượng của cô là 55,0 kg và chu kì chuyển động của cô là 0,800 s. Người nhảy kế tiếp là một chàng trai có chu kì dao động điều hòa đơn giản là 1,05 s. Hỏi khối lượng của anh ta là bao nhiêu nếu khối lượng của miếng ván nhảy là không đáng kể?

ĐS: 94,7 kg

6. Giả sử một miếng ván nhảy không có ai trên đó đang rung lên xuống trong một chuyển động điều hòa đơn giản với tần số 4,00 Hz. Tấm ván đó có khối lượng hiệu dụng 10,0 kg. Hỏi một người nhảy nước 75,0 kg đứng trên tấm ván đó có tần số của chuyển động điều hòa đơn giản là bao nhiêu?

Hình 6. Đồ chơi của đứa trẻ này hoạt động dựa trên các lò xo.

7. Dụng cụ trong Hình 6 giúp bọn trẻ nô đùa để chúng đừng đi lung tung. Đứa trẻ đung đưa trong một bộ yên treo dưới khung cửa bởi một lò xo. (a) Nếu lò xo giãn ra 0,250 m trong khi giữ một đứa trẻ 8,0 kg, thì hằng số lò xo là bao nhiêu? (b) Thời gian cho một vòng đung đưa của đứa trẻ này là bao nhiêu? (c) Vận tốc tối đa của đứa trẻ là bao nhiêu nếu biên độ đung đưa của nó là 0,200 m?

Hình 7. Dao động của một người nhảy dù bị ảnh hưởng bởi một người nhảy dù khác.

8. Một người nhảy dù 90,0 kg treo bên dưới một cái dù đung đưa lên xuống với chu kì 1,50 s. Chu kì dao động mới sẽ là bao nhiêu khi một người nhảy dù thứ hai, có khối lượng 60,0 kg, treo dưới chân của người thứ nhất, như trên Hình 7.

ĐS: 1,94 s

Thuật ngữ

• biên độ: độ lệch tối đa khỏi vị trí cân bằng của một vật đang dao động xung quanh vị trí cân bằng đó
• chuyển động điều hòa đơn giản: chuyển động dao động trong một hệ trong đó hợp lực có thể mô tả bằng định luật Hooke
• dao động tử điều hòa đơn giản: một dụng cụ tuân theo định luật Hooke, ví dụ một vật nặng gắn với một lò xo, với đầu kia của lò xo nối với một vật rắn ví dụ như tường nhà

Trần Nghiêm (thuvienvatly.com)
Theo OpenStaxCollege