Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 19)

19. Có bao nhiêu số nguyên tố?

Có vô hạn số nguyên tố.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 100, xếp theo thứ tự là:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.

Một vài số nguyên tố lớn hơn 100 là:

101, 103, 107, 109,..., 211,..., 307,..., 401,..., 503,..., 601,..., 701,...,809,..., 907,..., 65537,...,510511,...

20. Có nguyên tố lớn nhất không?

Câu hỏi liệu dãy số trên có điểm dừng hay không, hoặc các số nguyên tố có vô hạn về số lượng hay không, đã không được trả lời trong một thời gian khá lâu, cho đến khi Euclid chứng minh rằng chúng phải vô hạn về số lượng, và không có số nguyên tố lớn nhất.

21. Euclid đã chứng minh các số nguyên tố là vô hạn về số lượng như thế nào?

Lập luận chứng minh như sau:

Nếu chỉ có một số lượng hữu hạn số nguyên tố, thì phải có một số nguyên tố lớn nhất, ví dụ là P, khi đó thì số

(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... ×P) +1

sẽ cho số dư là 1 khi chia mỗi số 2, 3, 5, 7, 11,..., P.

Do đó, con số trên không thể chia hết cho bất kì số nguyên tố nào trong những số này. Như vậy, nó phải là một số nguyên tố hoặc có thể được chia hết bởi một số nguyên tố lớn hơn P. Dù là trường hợp nào thì P chẳng phải là số nguyên tố lớn nhất. Vì thế, có số lượng vô hạn các số nguyên tố.

22. Phương pháp nào dùng để tính ra số nguyên tố?

Phương pháp tính số nguyên tố đến số N bất kì khá đơn giản. Trước tiên, chúng ta viết tất cả các số từ 1 đến N,

1, 2, 3, 4,..., N

sau đó xóa đi, trước tiên là số 1, rồi đến tất cả những số bội của 2 ngoại trừ 2, rồi đến tất cả những số là bội của 3 ngoại trừ 3, rồi đến tất cả những số là bội của 5 ngoại trừ 5, rồi đến tất cả những số là bội của 7 ngoại trừ 7, và cứ thế. Các bội số của 4, 6,... đã bị xóa trước đó. Những số còn lại khi ấy sẽ là số nguyên tố.

23. Các số nguyên tố phân bố như thế nào?

Mặc dù vô hạn về số lượng, nhưng con số càng lớn thì chúng ta càng hiếm gặp số nguyên tố hơn. Nhưng sự phân bố của chúng là cực kì không đều, bởi vì trong khi hai số nguyên tố liên tiếp có thể chỉ sai khác nhau 2, nhưng hai số nguyên tố liên tiếp cũng có thể sai khác nhau đến một triệu.

Ví dụ, xét các số 10! + 2, 10! + 3, 10! + 4,..., 10! + 10 lần lượt chia hết cho 2, 3, 4,..., 10. Theo cách này, chúng ta có thể tạo ra nhiều hợp số liên tiếp như chúng ta muốn, cho dù một triệu hoặc nhiều hơn, trong đó không có số nào là số nguyên tố. Mặt khác, các số nguyên tố 1.000.000.009.649 và 1.000.000.009.651 chỉ sai khác nhau 2.

24. Có bao nhiêu số nguyên tố nằm giữa một con số bất kì và số gấp đôi của nó?

Giữa một con số bất kì lớn hơn 1 và số gấp đôi của nó luôn luôn có ít nhất một số nguyên tố.

Joseph Bertrand đã ước chừng kết quả này và đã xác nhận nó theo kiểu kinh nghiệm bằng những bảng kê đến những con số rất lớn, nhưng nó thật sự được chứng minh là bởi Chebychev.

25. Có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước?

Một ước đoán số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước cũng đã được nêu ra.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 20 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, tức là có 8 số, nên ta nói p(20) = 8.

Tương tự, p(100) = 25, p(200) = 46, p(300) = 62, p(400) = 78, p(500) = 95, p(600) = 109, p(700) = 125, p(800) = 139, p(900) = 154, p(1000) = 168.

Danh sách có thể tiếp tục đến vô hạn, nhưng không thể tìm được một công thức đơn giản cho p(x), trong đó p(x) là kí hiệu cho số lượng số nguyên tố nhỏ hơn x.

26. Định lí số nguyên tố là gì?

Định lí số nguyên tố phát biểu rằng đối với giá trị x lớn, số lượng số nguyên tố nhỏ hơn x xấp xỉ bằng x/logx, trong đó phép tính logarithm là logarithm tự nhiên.

Định lí được phỏng đoán bởi Gauss vào năm 1793, nhưng được chứng minh bởi Hadamard và de la Valle’e Poussin vào một thế kỉ sau đó, năm 1896.

27. Có công thức nào cho ra tất cả các số nguyên tố hay không?

Không. Người ta đã tốn nhiều công sức để tìm một công thức sẽ cho ra mọi số nguyên tố, nhưng chẳng có ai thành công.

Có thể nhắc lại một số trường hợp.

Biểu thức n² + n + 17 là số nguyên tố với mọi giá trị của n từ 1 đến 16,

2n² + 29 là số nguyên tố với các giá trị của n từ 1 đến 28,

n² – n + 41 là số nguyên tố với các giá trị của n từ 1 đến 40,

và n² – 79n + 1601 hay (n – 40)² + (n – 40) + 41 là số nguyên tố với các giá trị của n từ 1 đến 79.

Dirichlet đã chứng minh rằng mỗi chuỗi số

an + b, n = 0, 1, 2,3,...

trong đó a, b là hai số nguyên dương không có ước số chung lớn hơn 1, có chứa một số lượng vô hạn số nguyên tố.

Ví dụ, có vô hạn số nguyên tố có dạng 6n + 1, mặc dù, tất nhiên, không phải số nào như thế cũng là số nguyên tố. Với n = 4, 6n + 1 bằng 25, không phải là số nguyên tố.

Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng không có công thức đại số dạng hữu tỉ nào có thể chỉ biểu diễn số nguyên tố.

28. Có phải mọi số nguyên tố đều giống nhau?

Có hai dạng số nguyên tố.

Tất cả số nguyên tố ngoại trừ 2 đều có dạng hoặc 4n – 1 hoặc 4n + 1.

Trong số này, mỗi số nguyên tố có dạng 4n + 1 có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương duy nhất. Ví dụ, 5 = 1² + 2², 13 = 2²+ 3², 17 = 1² + 4², 29 = 2² + 5², 953 = 13² + 28².

Tuy nhiên, nếu một số có dạng 4n + 1 có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương theo hai cách khác nhau, thì nó không thể là số nguyên tố. Ví dụ, 545 = 17²+ 16² = 23² + 4², và 545 không phải là số nguyên tố.

Không có số nguyên nào dạng 4n – 1 có thể bằng tổng của hai bình phương, ví dụ 11 hay 23 không thể nào được biểu diễn như thế.

29. Những câu hỏi nào về số nguyên tố cho đến nay chưa được giải đáp?

Hai câu hỏi trông đơn giản liên quan đến số nguyên tố nhưng chưa được giải đáp là như sau:

Một là có hay không một vô hạn số nguyên tố thuộc dạng n² + 1, trong đó n là số nguyên.

Nếu chúng ta cho n nhận liên tiếp các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... thì (n² + 1) nhận các giá trị 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101,... Trong số này có một số là số nguyên tố còn số khác thì không. Câu hỏi đặt ra là đến lúc nào thì quá trình này dừng cho ra số nguyên tố.

Hai là phỏng đoán của Goldbach khẳng định rằng mỗi số chẵn lớn hơn 2 bằng tổng của hai số nguyên tố, ví dụ 40 = 11 + 29. Giả thiết đã được xác nhận bởi những bảng kê số nhưng chưa từng được chứng minh.

30. Định lí cơ bản của số học! Nó là gì?

Một tính chất mà mỗi số nguyên lớn hơn 1 đều có là hoặc nó là số nguyên tố, hoặc nó có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố theo cách duy nhất.

Kết quả cho mỗi số nguyên được phân tích thành tích của các thừa số duy nhất như thế này được gọi là định lí cơ bản của số học.

Ví dụ, 30 có thể được phân tích thành 2 × 3 × 5 và không có cách nào khác, một trật tự sắp xếp khác của các thừa số, ví dụ 3 × 2 × 5, không được xem là một phân tích thừa số khác.

Định lí này còn được gọi là định lí phân tích thành thừa số duy nhất.