Cực trị trong bài toán điện xoay chiều

- Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này.

- Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả của bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương pháp giải các dạng toán này.

- Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU“ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài liệu để học sinh tham khảo trong quá trỉnh học.

- Đề tài gồm bốn phần: khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất, hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc w.

- Vì thời gian có hạn, nên trong quá trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong được sự đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh.

Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12

NỘI DUNG

I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp

1. Có hai giá trị R₁ ¹ R₂ cho cùng một giá trị công suất

2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại

a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại

b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại.

3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.

1. Có hai giá trị L₁ ¹ L₂ cho cùng giá trị công suất

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng.

3. Giá trị Z_L để hiệu điện thế U_Lmax

4. Có hai giá trị L₁ ¹ L₂ cho cùng giá trị U_L,giá trị L để U_Lmax tính theo L₁ và L₂.

5. Giá trị Z_L để hiệu điện thế U_LRrmax

III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.

1. Có hai giá trị C₁ ¹ C₂ cho cùng giá trị công suất

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.

3. Giá trị Z_C để hiệu điện thế U_Cmax

4. Có hai giá trị C₁ ¹ C₂ cho cùng giá trị U_L và giá trị Z_C để U_Cmax tính theo C₁ và C₂.

5. Giá trị Z_C để hiệu điện thế U_CRrmax

IV. Sự thay đổi  w trong mạch R-L-C mắc nối tiếp

1. Giá trị w làm cho P_max

2. Khảo sát sự biến thiên công suất theo w.

3. Có hai giá trị w₁ ¹ w₂ cho cùng công suất và giá trị w làm cho P_max tính theo w₁ và w₂

4. Giá trị w làm cho hiệu điện thế U_Lmax

5. Giá trị w làm cho hiệu điện thế U_cmax

I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : 

R là một biến trở, các giá trị R₀ , L và C không đổi.

Gọi R_td = R + R₀

1. Có hai giá trị R₁ ¹ R₂ cho cùng một giá trị công suất

- Công suất tiêu thụ trên mạch là : 

- Vì P₁ = P₂ = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không đổi ứng với hai giá trị R₁ và R₂ . Khai triển biểu thức trên ta có:

- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên có hai nghiệm phân biệt R₁ và R₂. Theo định lý Viète (Vi-et):

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R₁ và R₂ khác nhau cho cùng giá trị công suất

2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại

a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại

- Ta có:

- Đặt , áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A

- Ta thấy rằng P_max khi A_min => “ =” xảy ra. Vậy: 

- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:

Với R_1td và R_2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.

b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

- Công suất của biến trở R là 

- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:

- Ta thấy rằng P_Rmax khi A_min nghĩa là dấu “ =”  phải xảy ra, khi đó:

- Công suất cực đại của biến trở R là: 

c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại, hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.

- Ta có :

- Vì R₀; Z_L; Z_C và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng I_max khi giá trị của biến trở R = 0.

3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

- Đạo hàm P theo biến số R_td ta có: 

Khi 

Bảng biến thiên :

Đồ thị của P theo R_td :

Nhận xét đồ thị :

Kết luận:

· Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy.

· Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.

II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : 

L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi

R và C không đổi.

1. Có hai giá trị L₁ ¹ L₂ cho cùng giá trị công suất

- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:

- Khai triển biểu thức trên ta thu được : 

- Suy ra : 

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z_L

- Ta có công suất toàn mạch là: , với R, C là các hằng số, nên công suất của mạch là một hàm số theo biến số Z_L

- Đạo hàm của P theo biến số Z_L ta có:

khi 

-Bảng biến thiên

- Đồ thị của công suất theo Z_L :

- Nhận xét đồ thị:

Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của Z_L sẽ cho phép định tính được sự tăng hay giảm của P theoZ_L. Từ đó ta có thể tiên đoán được sự thay đổi của công suất theo giá trị của Z_Ltrong một số bài toán.

3. Giá trị Z_L để hiệu điện thế U_Lmax

- 

Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là : , trong đó R; Z_C và U là các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến số là Z_L. Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có thể giải dể hơn và rút ra nhiều kết luận hơn.

- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có :

- Vì , suy ra

- Do cosb và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế U_Lmax khi 

- Theo hệ thức của tam giác vuông ta có:, từ đó suy ra 

- Tóm lại:

4. Có hai giá trị L₁ ¹ L₂ cho cùng giá trị U_L , giá trị L để U_Lmax tính theo L₁ và L₂.

- Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:

- Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:

- Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì  với giá trị Z_L là giá trị làm cho U_Lmax . Thay vào biểu thức trên:

- Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:

- Vì L₁ ¹ L₂ nên đơn giàn biểu thức trên ta thu được:  với giá L là giá trị là cho U_Lmax

5. Giá trị Z_L để hiệu điện thế U_LRrmax

- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

- Đặt , ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số Z_L để tìm giá trị của Z_L sao cho MT_min khi đó giá trị của U_Lrmax . Đạo hàm của MT theo biến số Z_L ta thu được :

- Cho MT’(Z_L) = 0 ta có : . Nghiệm của phương trình bậc hai này là: . Lập bảng biến thiên ta có:

- Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên U_LR đạt giá trị lớn nhất. Ta thu được kết quả sau:

Khi  thì 

III.Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : 

R là  điện trở L là một cuộn dây thuần cảm không đổi

và C có giá trị thay đổi .

Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở  do đó ta thấy rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:

1. Có hai giá trị C₁ ¹ C₂ cho cùng giá trị công suất

Với hai giá trị C₁ và C₂ cho cùng giá trị công suất ta có

Với giá trị C₀ là giá trị làm cho công suất mạch cực đại

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng

- Bảng biến thiên:

- Đồ thị của công suất theo giá trị Z_C :

3. Giá trị Z_C để hiệu điện thế U_Cmax

- Khi  thì:

·  và 

· u_RL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch

4. Có hai giá trị C₁ ¹ C₂ cho cùng giá trị U_C ,giá trị Z_C để U_Cmax tính theo C₁ và C₂

- Khi có hai giá trị C = C₁ hoặc C = C₂ cho cùng giá trị U_C thì giá trị của C làm cho U_Cmax khi 

5. Giá trị Z_C để hiệu điện thế U_RCmax

- Khi  thì  ( Với điện trở R và tụ điện mắc gần nhau)

IV. Sự thay đổi  w trong mạch R-L-C mắc nối tiếp

1. Giá trị w làm cho P_max

- Ta có  , từ công thức này ta thấy rằng công suất của mạch đạt giá trị cực đại khi: . Với 

- Khi đó Z_min = R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng pha nhau.

2. Có hai giá trị w₁ ¹ w₂ cho cùng công suất và giá trị w làm cho P_max tính theo w₁ và w₂:

- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:

- Biến đổi biểu thức trên ta thu được : 

- Vì w₁ ¹ w₂ nên nghiệm (1) bị loại

- Khai triển nghiệm (2) ta thu được :

- Theo kết quả ta có : với w₀ là giá trị cộng hưởng điện.

3. Khảo sát sự biến thiên công suất theo w.

- Ta có 

- Việc khảo sát hàm số P theo biến số w bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận  xét sau:

· Khi w = 0 thì  làm cho P = 0

· Khi  thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực đại

· Khi  thì làm cho P = 0

- Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị :

-Nhận xét đồ thị:

· Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị w₁ ≠ w₂ cho cùng một giá trị công suất, điều này phù hợp với những biến đổi ở phần trên.

4. Giá trị w làm cho hiệu điện thế U_Lmax

- Ta có : , đặt 

- Biến đổi biểu thức A ta thu được : 

- Ta tiếp tục đặt  khi đó 

- Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được: 

- Cho A’(x) = 0 ta thu được 

- Vì khi đó ta thu bảng biến thiên:

- Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:

và  

Nhận xét : Khi  thì A_min khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số  nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho A_min trong miền xác định của x. Khi đó w rất lớn làm cho Z_L rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể tìm giá trị w làm cho U_Lmax

5. Giá trị w làm cho hiệu điện thế U_cmax

- Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị w làm cho U_Cmax là:

- Khi   thì  với 

 Lê Tấn Hậu - Thuvienvatly.com